Función que varía lentamente

Función en matemáticas

En el análisis real , una rama de las matemáticas , una función que varía lentamente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es en cierto sentido similar al comportamiento de una función que converge en el infinito. De manera similar, una función que varía regularmente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es similar al comportamiento de una función de ley potencial (como un polinomio ) cerca del infinito. Estas clases de funciones fueron introducidas por Jovan Karamata , ^{[1] [2]} y han encontrado varias aplicaciones importantes, por ejemplo, en la teoría de la probabilidad .

Definiciones basicas

Definición 1 . Una función medible L  : (0, +∞) → (0, +∞) se llama de variación lenta (en el infinito) si para todo a > 0 ,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.}$

Definición 2 . Sea L  : (0, +∞) → (0, +∞) . Entonces L es una función que varía regularmente si y sólo si . En particular, el límite debe ser finito. ${\displaystyle \forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}}$

Estas definiciones se deben a Jovan Karamata . ^{[1] [2]}

Propiedades básicas

Las funciones que varían regularmente tienen algunas propiedades importantes: ^[1] a continuación se presenta una lista parcial de ellas. En la monografía de Bingham, Goldie y Teugels (1987) se presentan análisis más extensos de las propiedades que caracterizan la variación regular.

Uniformidad del comportamiento limitante.

Teorema 1 . El límite en las definiciones 1 y 2 es uniforme si a está restringido a un intervalo compacto .

Teorema de caracterización de Karamata

Teorema 2 . Toda función f  : (0, +∞) → (0, +∞) que varía regularmente es de la forma

${\displaystyle f(x)=x^{\beta }L(x)}$

dónde

• β es un número real ,
• L es una función que varía lentamente.

Nota . Esto implica que la función g ( a ) en la definición 2 tiene necesariamente que ser de la siguiente forma

${\displaystyle g(a)=a^{\rho }}$

donde el número real ρ se llama índice de variación regular .

Teorema de representación de Karamata

Teorema 3 . Una función L varía lentamente si y sólo si existe B > 0 tal que para todo x ≥ B la función se puede escribir en la forma

${\displaystyle L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}$

dónde

• η ( x ) es una función acotada y medible de una variable real que converge en un número finito cuando x tiende al infinito
• ε ( x ) es una función mensurable acotada de una variable real que converge a cero cuando x tiende al infinito.

Ejemplos

• Si L es una función medible y tiene un límite

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),}$

entonces L es una función que varía lentamente.

• Para cualquier β ∈ R , la función L ( x ) = log ^β x  varía lentamente.
• La función L ( x ) =  x no varía lentamente, ni L ( x ) =  x ^β para cualquier β  ≠ 0 real . Sin embargo, estas funciones varían periódicamente.

Ver también

• Teoría analítica de números
• Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood y su tratamiento por Karamata

Notas

1. Ver (Galambos y Seneta 1973)
2. Ver (Bingham, Goldie y Teugels 1987).

Referencias

• Bingham, NH (2001) [1994], "Teoría de Karamata", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bingham, Nuevo Hampshire; Goldie, CM; Teugels, JL (1987), Variación regular , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 27, Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 0-521-30787-2, SEÑOR  0898871, Zbl  0617.26001
• Galambos, J.; Seneta, E. (1973), "Secuencias que varían regularmente", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 41 (1): 110–116, doi : 10.2307/2038824 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2038824.