En matemáticas , una función cóncava es aquella para la cual el valor en cualquier combinación convexa de elementos en el dominio es mayor o igual a la combinación convexa de los valores en los puntos finales. De manera equivalente, una función cóncava es cualquier función cuyo hipógrafo es convexo. La clase de funciones cóncavas es en cierto sentido lo opuesto a la clase de funciones convexas . Una función cóncava también se llama sinónimamente cóncava hacia abajo , cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba , tapa convexa o convexa superior .
Para una función , esta segunda definición simplemente establece que para cada punto estrictamente entre y , el punto en la gráfica de está por encima de la línea recta que une los puntos y .
Una función es cuasicóncava si los conjuntos de contornos superiores de la función son conjuntos convexos. [2]
Propiedades
Una función cúbica es cóncava (mitad izquierda) cuando su primera derivada (roja) es monótonamente decreciente, es decir, su segunda derivada (naranja) es negativa, y convexa (mitad derecha) cuando su primera derivada es monótonamente creciente, es decir, su segunda derivada es positiva.
Si f es dos veces diferenciable , entonces f es cóncava si y sólo si f" no es positiva (o, informalmente, si la " aceleración " no es positiva). Si f ′′ es negativa entonces f es estrictamente cóncava, pero lo contrario no es cierto, como lo muestra f ( x ) = − x 4 .
Si f es cóncava y diferenciable, entonces está acotada arriba por su aproximación de Taylor de primer orden : [2]
Si una función f es cóncava y f (0) ≥ 0 , entonces f es subaditiva en . Prueba:
Como f es cóncava y 1 ≥ t ≥ 0 , haciendo y = 0 tenemos
Para :
Funciones denortevariables
Una función f es cóncava sobre un conjunto convexo si y sólo si la función −f es una función convexa sobre el conjunto.
La suma de dos funciones cóncavas es en sí misma cóncava y también lo es el mínimo puntual de dos funciones cóncavas, es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forma un semicampo .
Cerca de un máximo local estricto en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como recíproco parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.
Cualquier máximo local de una función cóncava también es un máximo global . Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.
Ejemplos
Las funciones y son cóncavas en sus dominios, al igual que sus segundas derivadas y son siempre negativas.
La función logaritmo es cóncava en su dominio , ya que su derivada es una función estrictamente decreciente.
Cualquier función afín es a la vez cóncava y convexa, pero ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa.
En termodinámica y teoría de la información , la entropía es una función cóncava. En el caso de la entropía termodinámica, sin transición de fase, la entropía en función de variables extensivas es estrictamente cóncava. Si el sistema puede sufrir una transición de fase, y si se le permite dividirse en dos subsistemas de diferentes fases ( separación de fases , por ejemplo, ebullición), los parámetros de entropía máxima de los subsistemas darán como resultado una entropía combinada precisamente en la línea recta entre los dos fases. Esto significa que la "entropía efectiva" de un sistema con transición de fase es la envoltura convexa de entropía sin separación de fases; por lo tanto, la entropía de un sistema que incluye separación de fases no será estrictamente cóncava. [8]
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Referencias adicionales
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