función ursell

En mecánica estadística , una función de Ursell o función de correlación conectada , es un acumulante de una variable aleatoria . A menudo se puede obtener sumando diagramas de Feynman conectados (la suma de todos los diagramas de Feynman da las funciones de correlación ).

La función Ursell lleva el nombre de Harold Ursell , quien la introdujo en 1927.

Definición

Si X es una variable aleatoria, los momentos s _n y los cumulantes (igual que las funciones de Ursell) u _n son funciones de X relacionadas por la fórmula exponencial :

${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$

(¿Dónde está la expectativa ?). ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Las funciones de Ursell para variables aleatorias multivariadas se definen de manera análoga a las anteriores, y de la misma manera que los acumuladores multivariados. ^[1]

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

Las funciones Ursell de una única variable aleatoria X se obtienen a partir de éstas estableciendo X = X ₁ = … = X _n .

Los primeros están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$

Caracterización

_{Percus (1975) demostró que las funciones de} Ursell, consideradas como funciones multilineales de varias variables aleatorias, están determinadas de forma única hasta una constante por el hecho de que desaparecen siempre que las variables Xi pueden dividirse en dos conjuntos independientes no vacíos.

Ver también

• Acumulante

Referencias

1. Shlosman, SB (1986). "Signos de las funciones de Ursell del modelo Ising". Comunicaciones en Física Matemática . 102 (4): 679–686. Código bibliográfico : 1985CMaPh.102..679S. doi :10.1007/BF01221652. S2CID  122963530.

• Glimm, James ; Jaffe, Arthur (1987), Física cuántica (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96476-8, señor  0887102
• Percus, JK (1975), "Desigualdades de correlación para redes de espín de Ising" (PDF) , Comm. Matemáticas. Física. , 40 (3): 283–308, Bibcode :1975CMaPh..40..283P, doi :10.1007/bf01610004, MR  0378683, S2CID  120940116
• Ursell, HD (1927), "La evaluación de la integral de fase de Gibbs para gases imperfectos", Proc. Filosofía de Cambridge. Soc. , 23 (6): 685–697, Bibcode :1927PCPS...23..685U, doi :10.1017/S0305004100011191, S2CID  123023251