Función que varía lentamente

Función en matemáticas

En el análisis real , una rama de las matemáticas , una función que varía lentamente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es en cierto sentido similar al comportamiento de una función que converge en el infinito. De manera similar, una función que varía regularmente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es similar al comportamiento de una función de ley de potencia (como un polinomio ) cerca del infinito. Estas clases de funciones fueron introducidas por Jovan Karamata , ^{[1] [2]} y han encontrado varias aplicaciones importantes, por ejemplo, en la teoría de la probabilidad .

Definiciones básicas

Definición 1. Una función medible L  : (0, +∞) → (0, +∞) se llama de variación lenta (en el infinito) si para todo a > 0 ,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.}$

Definición 2. Sea L  : (0, +∞) → (0, +∞) . Entonces , L es una función que varía regularmente si y solo si . En particular, el límite debe ser finito. ${\displaystyle \forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}}$

Estas definiciones se deben a Jovan Karamata . ^{[1] [2]}

Propiedades básicas

Las funciones que varían regularmente tienen algunas propiedades importantes: ^[1] a continuación se presenta una lista parcial de ellas. En la monografía de Bingham, Goldie y Teugels (1987) se presentan análisis más extensos de las propiedades que caracterizan la variación regular.

Uniformidad del comportamiento límite

Teorema 1. El límite en las definiciones 1 y 2 es uniforme si a está restringido a un intervalo compacto .

Teorema de caracterización de Karamata

Teorema 2. Toda función que varía regularmente f  : (0, +∞) → (0, +∞) tiene la forma

${\displaystyle f(x)=x^{\beta }L(x)}$

dónde

• β es un número real ,
• L es una función que varía lentamente.

Nota . Esto implica que la función g ( a ) en la definición 2 necesariamente tiene que ser de la siguiente forma

${\displaystyle g(a)=a^{\rho }}$

donde el número real ρ se llama índice de variación regular .

Teorema de representación de Karamata

Teorema 3. Una función L varía lentamente si y sólo si existe B > 0 tal que para todo x ≥ B la función puede escribirse en la forma

${\displaystyle L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}$

dónde

• η ( x ) es una función medible acotada de una variable real que converge a un número finito cuando x tiende al infinito
• ε ( x ) es una función medible acotada de una variable real que converge a cero cuando x tiende a infinito.

Ejemplos

• Si L es una función medible y tiene un límite

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),}$

entonces L es una función que varía lentamente.

• Para cualquier β ∈ R , la función L ( x ) = log ^β x  varía lentamente.
• La función L ( x ) =  x no varía lentamente, ni tampoco L ( x ) =  x ^β para ningún valor real β  ≠ 0 . Sin embargo, estas funciones varían regularmente.

Véase también

• Teoría analítica de números
• Teorema de Tauber de Hardy-Littlewood y su tratamiento por Karamata

Notas

1. Ver (Galambos y Seneta 1973)
2. Véase (Bingham, Goldie y Teugels 1987).

Referencias

• Bingham, NH (2001) [1994], "Teoría de Karamata", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bingham, NH; Goldie, CM; Teugels, JL (1987), Variación regular , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 27, Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 0-521-30787-2, MR  0898871, Zbl  0617.26001
• Galambos, J.; Seneta, E. (1973), "Secuencias que varían regularmente", Actas de la American Mathematical Society , 41 (1): 110–116, doi : 10.2307/2038824 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2038824.