Función matemática
La función omega de Wright a lo largo de una parte del eje real En matemáticas , la función omega de Wright o función de Wright , [nota 1] denotada ω , se define en términos de la función W de Lambert como:
ω ( el ) = Yo ⌈ I metro ( el ) − π 2 π ⌉ ( mi el ) . {\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Estoy} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{ z}).}
Usos Una de las principales aplicaciones de esta función es en la resolución de la ecuación z = ln( z ), ya que la única solución viene dada por z = e −ω( π i ) .
y = ω( z ) es la única solución, cuando x ≤ −1, de la ecuación y + ln( y ) = z . Excepto para esos dos valores, la función omega de Wright es continua , incluso analítica . el ≠ incógnita ± i π {\displaystyle z\neq x\pm i\pi }
Propiedades La función omega de Wright satisface la relación . Yo a ( el ) = ω ( En ( el ) + 2 π i a ) {\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}
También satisface la ecuación diferencial
d ω d el = ω 1 + ω {\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}} donde ω es analítico (como se puede ver realizando la separación de variables y recuperando la ecuación ), y como consecuencia su integral se puede expresar como: En ( ω ) + ω = el {\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}
∫ ω norte d el = { ω norte + 1 − 1 norte + 1 + ω norte norte si norte ≠ − 1 , En ( ω ) − 1 ω si norte = − 1. {\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{si }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{si }}n=-1.\end{cases}}} Su serie de Taylor alrededor del punto toma la forma: a = ω a + En ( ω a ) {\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}
ω ( el ) = ∑ norte = 0 + ∞ q norte ( ω a ) ( 1 + ω a ) 2 norte − 1 ( el − a ) norte norte ! {\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}} dónde
q norte ( el ) = ∑ a = 0 norte − 1 ⟨ ⟨ norte + 1 a ⟩ ⟩ ( − 1 ) a el a + 1 {\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matriz}n+1\\k\end{matriz}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}} En el cual
⟨ ⟨ norte a ⟩ ⟩ {\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matriz}n\\k\end{matriz}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }} es un número euleriano de segundo orden .
Valores ω ( 0 ) = Yo 0 ( 1 ) ≈ 0,56714 ω ( 1 ) = 1 ω ( − 1 ± i π ) = − 1 ω ( − 1 3 + En ( 1 3 ) + i π ) = − 1 3 ω ( − 1 3 + En ( 1 3 ) − i π ) = Yo − 1 ( − 1 3 mi − 1 3 ) ≈ − 2.237147028 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0,56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2,237147028\\\end{array}}}
Parcelas Gráficas de la función omega de Wright en el plano complejo z = Re( ω ( x + iy ) )
z = Im( ω ( x + iy ) )
ω ( x + i y )
Notas ^ No debe confundirse con la función Fox-Wright , también conocida como función de Wright.
Referencias "Sobre la función ω de Wright", Robert Corless y David Jeffrey 
