Función de paso

Combinación lineal de funciones indicadoras de intervalos reales.

En matemáticas, una función sobre números reales se llama función escalonada si puede escribirse como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos . Hablando informalmente, una función escalonada es una función constante por partes que tiene sólo un número finito de partes.

Un ejemplo de funciones escalonadas (el gráfico rojo). En esta función, cada subfunción constante con un valor de función α _i ( i = 0, 1, 2, ...) está definida por un intervalo _Ai y los intervalos se distinguen por puntos x _j ( j = 1, 2, .. .). Esta función de paso en particular es continua por la derecha .

Definición y primeras consecuencias

Una función se llama función escalonada si se puede escribir como ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$, para todos los números reales ${\displaystyle x}$

donde , son números reales, son intervalos y es la función indicadora de : ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}}$

En esta definición, se puede suponer que los intervalos tienen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle A_{i}}$

1. Los intervalos son disjuntos por pares : para ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$
2. La unión de los intervalos es toda la recta real: ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

De hecho, si ese no es el caso para empezar, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los cuales se cumplan estos supuestos. Por ejemplo, la función de paso.

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

Se puede escribir como

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

Variaciones en la definición.

A veces, se requiere que los intervalos estén abiertos ^[1] o se permita que sean singleton. ^[2] La condición de que el conjunto de intervalos debe ser finito a menudo se elimina, especialmente en matemáticas escolares, ^{[3] [4] [5]} aunque aún debe ser localmente finito , lo que da como resultado la definición de funciones constantes por partes.

Ejemplos

La función escalonada de Heaviside es una función escalonada de uso frecuente.

• Una función constante es un ejemplo trivial de función escalonada. Entonces solo hay un intervalo, ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• La función de signo sgn( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, y es la función escalonada no constante más simple.
• La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función de signo, hasta un desplazamiento y escala de rango ( ). Es el concepto matemático detrás de algunas señales de prueba , como las utilizadas para determinar la respuesta escalonada de un sistema dinámico . ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

La función rectangular , la siguiente función paso más simple.

• La función rectangular , la función furgón normalizada , se utiliza para modelar un pulso unitario.

No ejemplos

• La función parte entera no es una función escalonada según la definición de este artículo, ya que tiene un número infinito de intervalos. Sin embargo, algunos autores ^[6] también definen funciones escalonadas con un número infinito de intervalos. ^[6]

Propiedades

• La suma y el producto de dos funciones escalonadas es nuevamente una función escalonada. El producto de una función escalonada por un número también es una función escalonada. Como tal, las funciones escalonadas forman un álgebra sobre los números reales.
• Una función escalonada toma sólo un número finito de valores. Si los intervalos para en la definición anterior de la función escalonada son disjuntos y su unión es la recta real, entonces para todos ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• La integral definida de una función escalonada es una función lineal por partes .
• La integral de Lebesgue de una función escalonada es donde está la longitud del intervalo , y aquí se supone que todos los intervalos tienen una longitud finita. De hecho, esta igualdad (vista como una definición) puede ser el primer paso para construir la integral de Lebesgue. ^[7] ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ ${\displaystyle \ell (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• Una variable aleatoria discreta a veces se define como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es constante por partes. ^[8] En este caso, es localmente una función escalonada (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Sin embargo, por lo general, cualquier variable aleatoria con solo un número contable de valores posibles se denomina variable aleatoria discreta; en este caso, su función de distribución acumulativa no es necesariamente localmente una función escalonada, ya que se pueden acumular infinitos intervalos en una región finita.

Ver también

• función de almena
• Por partes
• función sigmoidea
• Función sencilla
• Detección de pasos
• Función de paso pesado
• Valoración constante por partes

Referencias

1. "Función de paso".
2. "Funciones de pasos - Mathonline".
3. "Palabras matemáticas: función de paso".
4. https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html ^{[ URL básica ]}
5. "Función de paso".
6. Bachman, Narici, Beckenstein (5 de abril de 2002). "Ejemplo 7.2.2". Análisis de Fourier y Wavelet . Springer, Nueva York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Weir, Alan J (10 de mayo de 1973). "3". Integración y medida de Lebesgue . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
8. Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introducción a la probabilidad . Tsitsiklis, John N. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC  51441829.