Funciones de Brillouin y Langevin

Función matemática utilizada para describir la magnetización.

Las funciones de Brillouin y Langevin son un par de funciones especiales que aparecen al estudiar un material paramagnético idealizado en mecánica estadística . Estas funciones reciben su nombre de los físicos franceses Paul Langevin y Léon Brillouin, quienes contribuyeron a la comprensión microscópica de las propiedades magnéticas de la materia.

Función Brillouin

La función Brillouin ^{[1] [2]} es una función especial definida por la siguiente ecuación:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

La función se aplica normalmente (ver más abajo) en el contexto donde es una variable real y es un entero positivo o un semientero. En este caso, la función varía de -1 a 1, acercándose a +1 cuando y a -1 cuando . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle x\to -\infty }$

La función es más conocida por surgir en el cálculo de la magnetización de un paramagnético ideal . En particular, describe la dependencia de la magnetización del campo magnético aplicado y del número cuántico de momento angular total J de los momentos magnéticos microscópicos del material. La magnetización viene dada por: ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}JB_{J}(x)}$

dónde

• ${\displaystyle N}$es el número de átomos por unidad de volumen,
• ${\displaystyle g}$el factor g ,
• ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$El magnetón de Bohr ,
• ${\displaystyle x}$es la relación entre la energía Zeeman del momento magnético en el campo externo y la energía térmica : ^[1] ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle x=J{\frac {g\mu _{\rm {B}}B}{k_{\rm {B}}T}}}$

• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$es la constante de Boltzmann y la temperatura. ${\displaystyle T}$

Téngase en cuenta que en el sistema SI de unidades dadas en Tesla representa el campo magnético , , donde es el campo magnético auxiliar dado en A/m y es la permeabilidad del vacío . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B=\mu _{0}H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Takacs ^[3] propuso la siguiente aproximación a la inversa de la función de Brillouin:

${\displaystyle B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}}$

donde las constantes y se definen como ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{(J-0.27)2J}}+{\frac {0.1}{J^{2}}}}$

${\displaystyle b=0.8}$

Función de Langevin

Función de Langevin (línea azul), comparada con (línea magenta). ${\displaystyle \tanh(x/3)}$

En el límite clásico, los momentos pueden estar alineados continuamente en el campo y pueden asumir todos los valores ( ). La función de Brillouin se simplifica entonces en la función de Langevin , llamada así en honor a Paul Langevin : ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J\to \infty }$

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

Para valores pequeños de x , la función de Langevin se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor :

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

Una aproximación alternativa de mejor comportamiento se puede derivar de la expansión de fracción continua de Lambert de tanh( x ) :

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

Para x suficientemente pequeños , ambas aproximaciones son numéricamente mejores que una evaluación directa de la expresión analítica real, ya que esta última sufre una cancelación catastrófica para donde . ${\displaystyle x\approx 0}$ ${\displaystyle \coth(x)\approx 1/x}$

La función inversa de Langevin L ⁻¹ ( x ) está definida en el intervalo abierto (−1, 1). Para valores pequeños de x , se puede aproximar mediante un truncamiento de su serie de Taylor ^[4]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }$

y por la aproximación de Padé

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).}$

Gráficas de error relativo para x ∈ [0, 1) para aproximaciones de Cohen y Jedynak

Como esta función no tiene forma cerrada, es útil tener aproximaciones válidas para valores arbitrarios de x . Una aproximación popular, válida en todo el rango (−1, 1), ha sido publicada por A. Cohen: ^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.}$

Este error relativo máximo es del 4,9 % en la proximidad de x = ±0,8 . Se puede lograr una mayor precisión utilizando la fórmula dada por R. Jedynak: ^[6]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},}$

Válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para esta aproximación es del 1,5 % en la vecindad de x = 0,85. Se puede lograr una precisión aún mayor utilizando la fórmula dada por M. Kröger: ^[7]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}}$

El error relativo máximo para esta aproximación es inferior al 0,28 %. R. Petrosyan informó una aproximación más precisa: ^[8]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},}$

Válido para x ≥ 0. El error relativo máximo para la fórmula anterior es menor que 0,18%. ^[8]

La nueva aproximación dada por R. Jedynak, ^[9] es la mejor aproximación reportada en complejidad 11:

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},}$

Válido para x ≥ 0. Su error relativo máximo es menor que 0,076%. ^[9]

El diagrama actual de los aproximantes de la función inversa de Langevin presenta la figura siguiente. Es válido para los aproximantes racionales/de Padé, ^{[7] [9]}

Diagrama de estado del arte actual de los aproximantes a la función de Langevin inversa, ^{[7] [9]}

Un artículo publicado recientemente por R. Jedynak, ^[10] proporciona una serie de aproximaciones óptimas a la función de Langevin inversa. La tabla siguiente muestra los resultados con comportamientos asintóticos correctos. ^{[7] [9] [10]}

Comparación de errores relativos para las diferentes aproximaciones racionales óptimas, que se calcularon con restricciones (Apéndice 8 Tabla 1) ^[10]

^{También recientemente, Benítez y Montáns [11]} propusieron un aproximante de precisión cercana a la de la máquina, eficiente, basado en interpolaciones de splines, donde también se proporciona el código Matlab para generar el aproximante basado en splines y comparar muchos de los aproximantes propuestos anteriormente en todo el dominio de la función.

Límite de alta temperatura

Cuando ie es pequeño, la expresión de la magnetización se puede aproximar mediante la ley de Curie : ${\displaystyle x\ll 1}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}B/k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

donde es una constante. Se puede observar que es el número efectivo de magnetones de Bohr. ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}}$ ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$

Límite de campo alto

Cuando , la función Brillouin tiende a 1. La magnetización se satura con los momentos magnéticos completamente alineados con el campo aplicado: ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}$

Referencias

1. C. Kittel, Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.), páginas 303-4 ISBN  978-0-471-41526-8
2. Darby, MI (1967). "Tablas de la función de Brillouin y de la función relacionada para la magnetización espontánea". Br. J. Appl. Phys . 18 (10): 1415–1417. Bibcode :1967BJAP...18.1415D. doi :10.1088/0508-3443/18/10/307.
3. Takacs, Jeno (2016). "Aproximaciones para Brillouin y su función inversa". COMPEL - Revista internacional de computación y matemáticas en ingeniería eléctrica y electrónica . 35 (6): 2095. doi :10.1108/COMPEL-06-2016-0278.
4. Johal, AS; Dunstan, DJ (2007). "Funciones energéticas para el caucho a partir de potenciales microscópicos". Journal of Applied Physics . 101 (8): 084917. Bibcode :2007JAP...101h4917J. doi :10.1063/1.2723870.
5. Cohen, A. (1991). "Una aproximación de Padé a la función inversa de Langevin". Rheologica Acta . 30 (3): 270–273. doi :10.1007/BF00366640. S2CID  95818330.
6. Jedynak, R. (2015). "Aproximación de la función inversa de Langevin revisada". Rheologica Acta . 54 (1): 29–39. doi : 10.1007/s00397-014-0802-2 .
7. Kröger, M. (2015). "Aproximaciones simples, admisibles y precisas de las funciones inversas de Langevin y Brillouin, relevantes para deformaciones y flujos de polímeros fuertes". J Non-Newton Fluid Mech . 223 : 77–87. doi : 10.1016/j.jnnfm.2015.05.007 . hdl : 20.500.11850/102747 .
8. Petrosyan, R. (2016). "Aproximaciones mejoradas para algunos modelos de extensión de polímeros". Rheologica Acta . 56 : 21–26. arXiv : 1606.02519 . doi :10.1007/s00397-016-0977-9. S2CID  100350117.
9. Jedynak, R. (2017). "Nuevos hechos sobre la aproximación de la función de Langevin inversa". Revista de mecánica de fluidos no newtoniana . 249 : 8–25. doi :10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
10. Jedynak, R. (2018). "Un estudio exhaustivo de los métodos matemáticos utilizados para aproximar la función inversa de Langevin". Matemáticas y mecánica de sólidos . 24 (7): 1–25. doi :10.1177/1081286518811395. S2CID  125370646.
11. Benítez, JM; Montáns, FJ (2018). "Un procedimiento numérico simple y eficiente para calcular la función inversa de Langevin con alta precisión". Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics . 261 : 153–163. arXiv : 1806.08068 . doi :10.1016/j.jnnfm.2018.08.011. S2CID  119029096.