función de Lyapunov

Concepto en el análisis de sistemas dinámicos.

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las funciones de Lyapunov , que llevan el nombre de Aleksandr Lyapunov , son funciones escalares que pueden usarse para demostrar la estabilidad de un equilibrio de una EDO. Las funciones de Lyapunov (también llamadas segundo método de estabilidad de Lyapunov) son importantes para la teoría de la estabilidad de los sistemas dinámicos y la teoría del control . Un concepto similar aparece en la teoría de las cadenas generales de Markov en el espacio de estados , generalmente bajo el nombre de funciones de Foster-Lyapunov.

Para ciertas clases de EDO, la existencia de funciones de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad. Si bien no existe una técnica general para construir funciones de Lyapunov para EDO, en muchos casos específicos se conoce la construcción de funciones de Lyapunov. Por ejemplo, las funciones cuadráticas son suficientes para sistemas con un estado, la solución de una desigualdad matricial lineal particular proporciona funciones de Lyapunov para sistemas lineales y las leyes de conservación a menudo se pueden utilizar para construir funciones de Lyapunov para sistemas físicos .

Definición

Una función de Lyapunov para un sistema dinámico autónomo.

${\displaystyle {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}}$

con un punto de equilibrio en es una función escalar que es continua, tiene primeras derivadas continuas, es estrictamente positiva para y para la cual la derivada del tiempo no es positiva (estas condiciones son requeridas en alguna región que contiene el origen). La condición (más fuerte) que es estrictamente positiva para a veces se establece como localmente positiva definida o localmente negativa definida . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle -\nabla {V}\cdot g}$ ${\displaystyle \nabla {V}\cdot g}$

Discusión adicional de los términos que surgen en la definición.

Las funciones de Lyapunov surgen en el estudio de los puntos de equilibrio de sistemas dinámicos. En un sistema dinámico autónomo arbitrario se puede escribir como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$

para algo suave ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Un punto de equilibrio es un punto tal que Dado un punto de equilibrio, siempre existe una transformación de coordenadas tal que: ${\displaystyle y^{*}}$ ${\displaystyle g\left(y^{*}\right)=0.}$ ${\displaystyle y^{*},}$ ${\displaystyle x=y-y^{*},}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}}$

Por lo tanto, al estudiar los puntos de equilibrio, es suficiente suponer que el punto de equilibrio ocurre en . ${\displaystyle 0}$

Según la regla de la cadena, para cualquier función, la derivada temporal de la función evaluada a lo largo de una solución del sistema dinámico es ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

Una función se define como una función localmente definida positiva (en el sentido de sistemas dinámicos) si ambos y hay una vecindad del origen, tal que: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H(0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.}$

Teoremas básicos de Lyapunov para sistemas autónomos

Sea un equilibrio del sistema autónomo. ${\displaystyle x^{*}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$

y utilice la notación para indicar la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov : ${\displaystyle {\dot {V}}(x)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

Equilibrio localmente asintóticamente estable

Si se aísla el equilibrio, la función candidata de Lyapunov es localmente definida positiva, y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es localmente definida negativa: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},}$

para alguna vecindad de origen, entonces se demuestra que el equilibrio es localmente asintóticamente estable. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$

Equilibrio estable

Si es una función de Lyapunov, entonces el equilibrio es estable de Lyapunov . Lo contrario también es cierto y lo demostró José Luis Massera . ${\displaystyle V}$

Equilibrio globalmente asintóticamente estable

Si la función candidata de Lyapunov es definida globalmente positiva, radialmente ilimitada , el equilibrio aislado y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es definida globalmente negativa: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$

entonces se demuestra que el equilibrio es globalmente asintóticamente estable .

La función candidata de Lyapunov es radialmente ilimitada si ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .}$

(Esto también se conoce como norma-coercitividad).

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial en : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Teniendo en cuenta que siempre es positivo en torno al origen, es un candidato natural a ser una función de Lyapunov para ayudarnos a estudiar . Así que vamos . Entonces, ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Esto muestra correctamente que la ecuación diferencial anterior es asintóticamente estable con respecto al origen. Tenga en cuenta que utilizando el mismo candidato de Lyapunov se puede demostrar que el equilibrio también es globalmente asintóticamente estable. ${\displaystyle x,}$

Ver también

• Estabilidad de Lyapunov
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Función de control-Lyapunov
• función de chetaev
• teorema de Foster
• Optimización de Lyapunov

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Función Lyapunov". MundoMatemático .
• Khalil, Hong Kong (1996). Sistemas no lineales . Prentice Hall Upper Saddle River, Nueva Jersey.
• La Salle, José; Lefschetz, Salomón (1961). Estabilidad por el método directo de Liapunov: con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
• Este artículo incorpora material de la función Lyapunov en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

enlaces externos

• Ejemplo de determinación de la estabilidad de la solución de equilibrio de un sistema de EDO con función de Lyapunov