Criterio ISI de Nyquist

Condición para evitar interferencias entre símbolos

La respuesta de coseno elevado cumple con el criterio de ISI de Nyquist. Los impulsos de coseno elevado consecutivos demuestran la propiedad de ISI cero entre los símbolos transmitidos en los instantes de muestreo. En t=0, el pulso medio está en su máximo y la suma de los demás impulsos es cero.

En comunicaciones, el criterio ISI de Nyquist describe las condiciones que, cuando se cumplen en un canal de comunicación (incluidas las respuestas de los filtros de transmisión y recepción), dan como resultado la ausencia de interferencia entre símbolos o ISI. Proporciona un método para construir funciones limitadas en banda para superar los efectos de la interferencia entre símbolos.

Cuando se transmiten símbolos consecutivos a través de un canal mediante una modulación lineal (como ASK , QAM , etc.), la respuesta al impulso (o equivalentemente, la respuesta en frecuencia ) del canal hace que un símbolo transmitido se disperse en el dominio del tiempo. Esto causa interferencia entre símbolos porque los símbolos transmitidos previamente afectan al símbolo recibido actualmente, lo que reduce la tolerancia al ruido . El teorema de Nyquist relaciona esta condición del dominio del tiempo con una condición equivalente del dominio de la frecuencia .

El criterio de Nyquist está estrechamente relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , con sólo un punto de vista diferente.

Criterio de Nyquist

Si denotamos la respuesta al impulso del canal como , entonces la condición para una respuesta libre de ISI se puede expresar como: ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

Para todos los números enteros , donde es el período del símbolo . El teorema de Nyquist dice que esto es equivalente a: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1\quad {\text{for all frequencies }}f}$,

donde es la transformada de Fourier de . Este es el criterio ISI de Nyquist. ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle h(t)}$

Este criterio se puede entender intuitivamente de la siguiente manera: las réplicas desplazadas en frecuencia de deben sumar un valor constante. Esta condición se cumple cuando el espectro tiene simetría par, tiene un ancho de banda mayor o igual a y su banda lateral única tiene simetría impar en la frecuencia de corte . ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle 2/T_{s}}$ ${\displaystyle \pm 1/2T_{s}}$

En la práctica, este criterio se aplica al filtrado de banda base considerando la secuencia de símbolos como impulsos ponderados ( función delta de Dirac ). Cuando los filtros de banda base en el sistema de comunicación satisfacen el criterio de Nyquist, los símbolos se pueden transmitir por un canal con una respuesta plana dentro de una banda de frecuencia limitada, sin interferencias inducidas (ISI). Ejemplos de tales filtros de banda base son el filtro de coseno elevado o el filtro sinc como caso ideal.

Derivación

Para derivar el criterio, primero expresamos la señal recibida en términos del símbolo transmitido y la respuesta del canal. Sea la función h(t) la respuesta al impulso del canal , x[n] los símbolos que se enviarán, con un período de símbolo de T _s ; la señal recibida y(t) tendrá la forma (donde se ha ignorado el ruido para simplificar):

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h(t-nT_{s})}$.

Al muestrear esta señal en intervalos de T _s , podemos expresar y(t) como una ecuación de tiempo discreto:

${\displaystyle y[k]=y(kT_{s})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h[k-n]}$.

Si escribimos el término h[0] de la suma por separado, podemos expresarlo como:

${\displaystyle y[k]=x[k]\cdot h[0]+\sum _{n\neq k}x[n]\cdot h[k-n]}$,

y de esto podemos concluir que si una respuesta h[n] satisface

${\displaystyle h[n]={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$,

Sólo un símbolo transmitido tiene un efecto sobre el y[k] recibido en los instantes de muestreo, eliminando así cualquier ISI. Esta es la condición del dominio del tiempo para un canal sin ISI. Ahora encontramos un equivalente del dominio de la frecuencia para ello. Comenzamos expresando esta condición en tiempo continuo:

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

para todos los enteros . Multiplicamos dicha h(t) por una suma de funciones delta de Dirac (impulsos) separados por intervalos T _s. Esto es equivalente a muestrear la respuesta como se indicó anteriormente, pero utilizando una expresión de tiempo continuo. El lado derecho de la condición puede entonces expresarse como un impulso en el origen: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle h(t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT_{s})=\delta (t)}$

Transformando de Fourier ambos miembros de esta relación obtenemos:

${\displaystyle H\left(f\right)*{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$.

Este es el criterio ISI de Nyquist y, si una respuesta de canal lo satisface, entonces no hay ISI entre las diferentes muestras.

Véase también

• Tasa de Nyquist
• Modelado de pulso
• Filtro de raíz de coseno elevado
• Harry Nyquist

Referencias

• John G. Proakis , " Comunicaciones digitales, 3.ª edición ", McGraw-Hill Book Co., 1995. ISBN  0-07-113814-5
• Behzad Razavi , " Microelectrónica de RF ", Prentice-Hall, Inc., 1998. ISBN 0-13-887571-5