Relajación Havriliak-Negami

Modelo en electromagnetismo.

La relajación de Havriliak-Negami es una modificación empírica del modelo de relajación de Debye en electromagnetismo. A diferencia del modelo de Debye, la relajación de Havriliak-Negami explica la asimetría y amplitud de la curva de dispersión dieléctrica . El modelo se utilizó por primera vez para describir la relajación dieléctrica de algunos polímeros , ^[1] añadiendo dos parámetros exponenciales a la ecuación de Debye:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\Delta \varepsilon }{(1+(i\omega \tau )^{\alpha })^{\beta }}},}$

donde es la permitividad en el límite de alta frecuencia, donde es la permitividad estática de baja frecuencia y es el tiempo de relajación característico del medio. Los exponentes y describen la asimetría y amplitud de los espectros correspondientes. ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta \varepsilon =\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Dependiendo de la aplicación, la transformada de Fourier de la función exponencial extendida puede ser una alternativa viable que tiene un parámetro menos.

Para la ecuación de Havriliak-Negami se reduce a la ecuación de Cole-Cole , para a la ecuación de Cole-Davidson . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Propiedades matemáticas

Partes reales e imaginarias.

La parte de almacenamiento y la parte de pérdida de la permitividad (aquí: con ) se pueden calcular como ${\displaystyle \varepsilon '}$ ${\displaystyle \varepsilon ''}$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )}$ ${\displaystyle (\pm i)^{2}=-1}$

${\displaystyle \varepsilon '(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\cos(\beta \phi )}$

y

${\displaystyle \varepsilon ''(\omega )=\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\sin(\beta \phi )}$

con

${\displaystyle \phi =\arctan \left({(\omega \tau )^{\alpha }\sin(\pi \alpha /2) \over 1+(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)}\right)}$

Pico de pérdida

El máximo de la parte de pérdida es de

${\displaystyle \omega _{\rm {max}}=\left({\sin \left({\pi \alpha \over 2(\beta +1)}\right) \over \sin \left({\pi \alpha \beta \over 2(\beta +1)}\right)}\right)^{1/\alpha }\tau ^{-1}}$

Superposición de lorentzianos

La relajación de Havriliak-Negami se puede expresar como una superposición de relajaciones de Debye individuales.

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }=\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over 1+i\omega \tau _{D}}g(\ln \tau _{D})d\ln \tau _{D}}$

con la función de distribución de valor real

${\displaystyle g(\ln \tau _{D})={1 \over \pi }{(\tau _{D}/\tau )^{\alpha \beta }\sin(\beta \theta ) \over ((\tau _{D}/\tau )^{2\alpha }+2(\tau _{D}/\tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha )+1)^{\beta /2}}}$

dónde

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)}$

si el argumento del arcotangente es positivo, en caso contrario ^[2]

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)+\pi }$

Cabe destacar que se vuelve imaginario valorado por ${\displaystyle g(\ln \tau )}$

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }={(i\omega \tau )^{\alpha \beta } \over (1+(i\omega \tau )^{\alpha })^{\beta }}}$

y complejo valorado por

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }={1 \over (1-(\omega \tau )^{2\alpha })^{\beta }}}$

Momentos logarítmicos

El primer momento logarítmico de esta distribución, el tiempo de relajación logarítmico promedio es

${\displaystyle \langle \ln \tau _{D}\rangle =\ln \tau +{\Psi (\beta )+{\rm {Eu}} \over \alpha }}$

donde está la función digamma y la constante de Euler . ^[3] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\rm {Eu}}}$

Transformada inversa de Fourier

La transformada inversa de Fourier de la función Havriliak-Negami (la correspondiente función de relajación en el dominio del tiempo) se puede calcular numéricamente. ^[4] Se puede demostrar que las expansiones de series involucradas son casos especiales de la función Fox-Wright . ^[5] En particular, en el dominio del tiempo, el correspondiente de se puede representar como ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$

${\displaystyle X(t)=\varepsilon _{\infty }\delta (t)+{\frac {\Delta \varepsilon }{\tau }}\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha \beta -1}E_{\alpha ,\alpha \beta }^{\beta }(-(t/\tau )^{\alpha }),}$

¿Dónde está la función delta de Dirac y ${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}}}$

es un caso especial de la función Fox-Wright y, precisamente, se trata de la función de tres parámetros de Mittag-Leffler ^[6], también conocida como función Prabhakar. La función se puede evaluar numéricamente, por ejemplo, mediante un código Matlab. ^[7] ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)}$

Ver también

• Adiós relajación
• Ecuación de Cole-Cole
• Ecuación de Cole-Davidson
• Ley de Curie-von Schweidler
• Espectroscopia dieléctrica
• dipolo

Referencias

1. Havriliak, S.; Negami, S. (1967). "Una representación plana compleja de procesos de relajación mecánica y dieléctrica en algunos polímeros". Polímero . 8 : 161–210. doi :10.1016/0032-3861(67)90021-3.
2. Zorn, R. (1999). "Aplicabilidad de las funciones de distribución para la función espectral de Havriliak-Negami". Revista de ciencia de polímeros, parte B. 37 (10): 1043–1044. Código Bib : 1999JPoSB..37.1043Z. doi :10.1002/(SICI)1099-0488(19990515)37:10<1043::AID-POLB9>3.3.CO;2-8.
3. Zorn, R. (2002). "Momentos logarítmicos de distribuciones del tiempo de relajación" (PDF) . Revista de Física Química . 116 (8): 3204–3209. Código Bib : 2002JChPh.116.3204Z. doi :10.1063/1.1446035.
4. Schönhals, A. (1991). "Cálculo rápido de la permitividad dieléctrica dependiente del tiempo para la función Havriliak-Negami". Acta Polimérica . 42 : 149-151.
5. Hilfer, J. (2002). " Representaciones de funciones H para relajación exponencial estirada y susceptibilidades no Debye en sistemas vítreos". Revisión física E. 65 : 061510. Código bibliográfico : 2002PhRvE..65f1510H. doi :10.1103/physreve.65.061510.
6. Gorenflo, Rudolf; Kilbas, Anatoly A.; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. (2014). Springer (ed.). Funciones, temas relacionados y aplicaciones de Mittag-Leffler . ISBN 978-3-662-43929-6.
7. Garrappa, Roberto. "La función Mittag-Leffler" . Consultado el 3 de noviembre de 2014 .