Función de Dickman

Función matemática

La función de Dickman–de Bruijn ρ ( u ) representada gráficamente en una escala logarítmica. El eje horizontal es el argumento u y el eje vertical es el valor de la función. El gráfico casi forma una línea descendente en la escala logarítmica, lo que demuestra que el logaritmo de la función es cuasilineal .

En la teoría analítica de números , la función de Dickman o función de Dickman–de Bruijn ρ es una función especial que se utiliza para estimar la proporción de números lisos hasta un límite dado. Fue estudiada por primera vez por el actuario Karl Dickman, quien la definió en su única publicación matemática, ^[1] que no está fácilmente disponible, ^[2] y luego estudiada por el matemático holandés Nicolaas Govert de Bruijn . ^{[3] [4]}

Definición

La función de Dickman-de Bruijn es una función continua que satisface la ecuación diferencial de retardo ${\displaystyle \rho (u)}$

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}$

con condiciones iniciales para 0 ≤  u  ≤ 1. ${\displaystyle \rho (u)=1}$

Propiedades

Dickman demostró que, cuando se fija, tenemos ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,}$

donde es el número de y - enteros  suaves (o y - friables ) por debajo de x . ${\displaystyle \Psi (x,y)}$

Ramaswami posteriormente dio una prueba rigurosa de que para a fijo , era asintótico a , con el límite de error ${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})}$ ${\displaystyle x\rho (a)}$

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)}$

en notación O grande . ^[5]

Aplicaciones

La ecuación de Dickman-de Bruijn se utiliza para calcular la probabilidad de que el factor más grande y el segundo más grande de x sea menor que x^a

El objetivo principal de la función de Dickman-de Bruijn es estimar la frecuencia de números lisos de un tamaño determinado. Esto se puede utilizar para optimizar varios algoritmos de teoría de números, como la factorización P-1 , y puede ser útil por sí misma.

Se puede demostrar que ^[6]

${\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)}}$

lo cual está relacionado con la estimación a continuación. ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}}$

La constante de Golomb-Dickman tiene una definición alternativa en términos de la función de Dickman-de Bruijn.

Estimación

Una primera aproximación podría ser Una mejor estimación es ^[7] ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}.\,}$

${\displaystyle \rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))}$

donde Ei es la integral exponencial y ξ es la raíz positiva de

${\displaystyle e^{\xi }-1=u\xi .\,}$

Un límite superior simple es ${\displaystyle \rho (x)\leq 1/x!.}$

Cálculo

Para cada intervalo [ n  − 1,  n ] con n entero, existe una función analítica tal que . Para 0 ≤  u  ≤ 1, . Para 1 ≤  u  ≤ 2, . Para 2 ≤  u  ≤ 3, ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}(u)=\rho (u)}$ ${\displaystyle \rho (u)=1}$ ${\displaystyle \rho (u)=1-\log u}$

${\displaystyle \rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}.}$

con Li ₂ el dilogaritmo . Otros pueden calcularse utilizando series infinitas. ^[8] ${\displaystyle \rho _{n}}$

Un método alternativo consiste en calcular los límites superior e inferior con la regla trapezoidal ; ^[7] una malla de tamaños progresivamente más finos permite una precisión arbitraria. Para cálculos de alta precisión (cientos de dígitos), es mejor una expansión recursiva de series sobre los puntos medios de los intervalos. ^[9]

Extensión

Friedlander define un análogo bidimensional de . ^[10] Esta función se utiliza para estimar una función similar a la de de Bruijn, pero contando el número de enteros y -suaves con como máximo un factor primo mayor que z . Entonces ${\displaystyle \sigma (u,v)}$ ${\displaystyle \rho (u)}$ ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).\,}$

Véase también

• Función de Buchstab , una función utilizada de manera similar para estimar el número de números aproximados , cuya convergencia a está controlada por la función de Dickman ${\displaystyle e^{-\gamma }}$
• Constante de Golomb-Dickman

Referencias

1. Dickman, K. (1930). "Sobre la frecuencia de los números que contienen factores primos de una determinada magnitud relativa". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 22A (10): 1–14. Bibcode :1930ArMAF..22A..10D.
2. Varios (2012–2018). "nt.number theory - Solicitud de referencia: Dickman, Sobre la frecuencia de los números que contienen factores primos". MathOverflow .Discusión: una búsqueda infructuosa de una fuente del artículo de Dickman y sugerencias sobre varios otros sobre el tema.
3. de Bruijn, NG (1951). «Sobre el número de enteros positivos ≤ x y libres de factores primos > y» (PDF) . Indagaciones Mathematicae . 13 : 50–60.
4. de Bruijn, NG (1966). «Sobre el número de enteros positivos ≤ x y libres de factores primos > y, II» (PDF) . Indagaciones Mathematicae . 28 : 239–247.
5. Ramaswami, V. (1949). "Sobre el número de enteros positivos menores que x {\displaystyle x} y libres de divisores primos mayores que xc" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (12): 1122–1127. doi : 10.1090/s0002-9904-1949-09337-0 . MR  0031958.
6. Hildebrand, A.; Tenenbaum, G. (1993). "Números enteros sin factores primos grandes" (PDF) . Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 5 (2): 411–484. doi : 10.5802/jtnb.101 .
7. van de Lune, J.; Wattel, E. (1969). "Sobre la solución numérica de una ecuación diferencial-diferencial que surge en la teoría analítica de números". Matemáticas de la computación . 23 (106): 417–421. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247789-3 .
8. Bach, Eric; Peralta, René (1996). "Probabilidades de semilisitud asintótica" (PDF) . Matemáticas de la computación . 65 (216): 1701–1715. Bibcode :1996MaCom..65.1701B. doi : 10.1090/S0025-5718-96-00775-2 .
9. Marsaglia, George; Zaman, Arif; Marsaglia, John CW (1989). "Solución numérica de algunas ecuaciones diferenciales clásicas". Matemáticas de la computación . 53 (187): 191–201. doi : 10.1090/S0025-5718-1989-0969490-3 .
10. Friedlander, John B. (1976). "Números enteros libres de primos grandes y pequeños". Proc. London Math. Soc . 33 (3): 565–576. doi :10.1112/plms/s3-33.3.565.

Lectura adicional

• Broadhurst, David (2010). "Polilogaritmos de Dickman y sus constantes". arXiv : 1004.0519 [math-ph].
• Soundararajan, Kannan (2012). "Una expansión asintótica relacionada con la función de Dickman". Ramanujan Journal . 29 (1–3): 25–30. arXiv : 1005.3494 . doi :10.1007/s11139-011-9304-3. MR  2994087. S2CID  119564455.
• Weisstein, Eric W. "Función Dickman". MathWorld .