Constante de Golomb-Dickman

En matemáticas , la constante de Golomb-Dickman , llamada así por Solomon W. Golomb y Karl Dickman, surge en la teoría de permutaciones aleatorias y en la teoría de números . Su valor es

${\displaystyle \lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots }$(secuencia A084945 en la OEIS )

No se sabe si esta constante es racional o irracional. ^[1]

Definiciones

Sea a _n el promedio —tomado sobre todas las permutaciones de un conjunto de tamaño n— de la longitud del ciclo más largo en cada permutación. Entonces la constante de Golomb-Dickman es

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.}$

En el lenguaje de la teoría de la probabilidad , es asintóticamente la longitud esperada del ciclo más largo en una permutación aleatoria uniformemente distribuida de un conjunto de tamaño n . ${\displaystyle \lambda n}$

En teoría de números, la constante de Golomb-Dickman aparece en relación con el tamaño medio del mayor factor primo de un número entero. Más precisamente,

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}},}$

donde es el factor primo más grande de k (secuencia A006530 en la OEIS ). Por lo tanto, si k es un entero de d dígitos, entonces es el número promedio asintótico de dígitos del factor primo más grande de k . ${\displaystyle P_{1}(k)}$ ${\displaystyle \lambda d}$

La constante de Golomb-Dickman aparece en la teoría de números de una manera diferente. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo factor primo más grande de n sea menor que la raíz cuadrada del factor primo más grande de n ? Asintóticamente, esta probabilidad es . Más precisamente, ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\text{Prob}}\left\{P_{2}(n)\leq {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}}$

donde es el segundo factor primo más grande n . ${\displaystyle P_{2}(n)}$

La constante de Golomb-Dickman también surge cuando consideramos la longitud media del ciclo más grande de cualquier función de un conjunto finito a sí mismo. Si X es un conjunto finito, si aplicamos repetidamente una función f : X → X a cualquier elemento x de este conjunto, finalmente entra en un ciclo, lo que significa que para algún k tenemos para n suficientemente grande ; el k más pequeño con esta propiedad es la longitud del ciclo. Sea b _n el promedio, tomado sobre todas las funciones de un conjunto de tamaño n a sí mismo, de la longitud del ciclo más grande. Luego Purdom y Williams ^[2] demostraron que ${\displaystyle f^{n+k}(x)=f^{n}(x)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\lambda .}$

Fórmulas

Existen varias expresiones para . Entre ellas se incluyen: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}e^{\mathrm {Li} (t)}\,dt}$

¿Dónde está la integral logarítmica ? ${\displaystyle \mathrm {Li} (t)}$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}\,dt}$

donde es la integral exponencial , y ${\displaystyle E_{1}(t)}$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}\,dt}$

y

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}\,dt}$

¿Dónde está la función de Dickman ? ${\displaystyle \rho (t)}$

Véase también

• Permutación aleatoria
• Estadísticas de permutación aleatoria

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Golomb-Dickman". MathWorld .
• Secuencia OEIS A084945 (Expansión decimal de la constante de Golomb-Dickman)
• Finch, Steven R. (2003). Constantes matemáticas . Cambridge University Press. pp. 284–286. ISBN 0-521-81805-2.

Referencias

1. Lagarias, Jeffrey (2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Bull. Amer. Math. Soc . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . Código Bibliográfico :2013arXiv1303.1856L. doi :10.1090/S0273-0979-2013-01423-X. S2CID  119612431.
2. Purdon, P.; Williams, JH (1968). "Longitud del ciclo en una función aleatoria". Trans. Amer. Math. Soc . 133 (2): 547–551. doi : 10.1090/S0002-9947-1968-0228032-3 .