Función beta

Función matemática

Diagrama de contorno de la función beta

En matemáticas , la función beta , también llamada integral de Euler de primer tipo, es una función especial que está estrechamente relacionada con la función gamma y con los coeficientes binomiales . Se define por la integral

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$

para entradas de números complejos tales que . ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}$

La función beta fue estudiada por Leonhard Euler y Adrien-Marie Legendre y recibió su nombre de Jacques Binet ; su símbolo Β es una beta mayúscula griega .

Propiedades

La función beta es simétrica , lo que significa que para todas las entradas y . ^[1] ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

Una propiedad clave de la función beta es su estrecha relación con la función gamma : ^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$

A continuación se da una prueba en § Relación con la función gamma.

La función beta también está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales . Cuando m (o n , por simetría) es un entero positivo, de la definición de la función gamma Γ se deduce que ^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}$

Relación con la función gamma

Para derivar esta relación, escribimos el producto de dos factoriales como integrales. Como son integrales en dos variables separadas, podemos combinarlas en una integral iterada:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$

Cambiando las variables por u = st y v = s (1 − t ) , porque u + v = s y u / (u+v) = t , tenemos que los límites de integración para s son 0 a ∞ y los límites de integración para t son 0 a 1. Por lo tanto se produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}$

Dividiendo ambos lados por obtenemos el resultado deseado. ${\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}$

La identidad establecida puede verse como un caso particular de la identidad para la integral de una convolución .

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$

Uno tiene:

${\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}$

Consulte La función gamma , página 18-19 ^[2] para obtener una derivación de esta relación.

Diferenciación de la función beta

Tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,}$

donde denota la función digamma . ${\displaystyle \psi (z)}$

Aproximación

La aproximación de Stirling da la fórmula asintótica

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

para x grande y y grande .

Si por otro lado x es grande e y es fijo, entonces

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Otras identidades y fórmulas

La integral que define la función beta se puede reescribir de diversas maneras, incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}$

donde en la penúltima identidad n es cualquier número real positivo. Se puede pasar de la primera integral a la segunda sustituyendo . ${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$

La función beta se puede escribir como una suma infinita ^[3]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}$

(donde esta el factorial ascendente ) ${\displaystyle (x)_{n}}$

y como un producto infinito

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$

La función beta satisface varias identidades análogas a las identidades correspondientes para coeficientes binomiales, incluida una versión de la identidad de Pascal.

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}$

y una recurrencia simple en una coordenada:

${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$^[4]

Los valores enteros positivos de la función beta también son las derivadas parciales de una función 2D: para todos los enteros no negativos y , ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}$

dónde

${\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}$

La identidad similar a Pascal anterior implica que esta función es una solución a la ecuación diferencial parcial de primer orden

${\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}$

Para , la función beta puede escribirse en términos de una convolución que involucra la función de potencia truncada : ${\displaystyle x,y\geq 1}$ ${\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$

Las evaluaciones en puntos particulares pueden simplificarse significativamente; por ejemplo,

${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$

y

${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$^[5]

Al tomar esta última fórmula, se deduce que . Generalizando esto en una identidad bivariada para un producto de funciones beta se llega a: ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$

La integral de Euler para la función beta se puede convertir en una integral sobre el contorno de Pochhammer C como

${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos los valores de α y β y, por lo tanto, proporciona la continuación analítica de la función beta.

Así como la función gamma para números enteros describe factoriales , la función beta puede definir un coeficiente binomial después de ajustar los índices:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Además, para el entero n , Β se puede factorizar para obtener una función de interpolación en forma cerrada para valores continuos de k :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

Función beta recíproca

La función beta recíproca es la función sobre la forma

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$

Curiosamente, sus representaciones integrales se relacionan estrechamente, como la integral definida de funciones trigonométricas con el producto de su potencia y su ángulo múltiple : ^[6]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

Función beta incompleta

La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como ^{[7] [8]}

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$

Para x = 1 , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación entre las dos funciones es similar a la que existe entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta . Para los enteros positivos a y b , la función beta incompleta será un polinomio de grado a  +  b  - 1 con coeficientes racionales.

Por la sustitución y , demostramos que ${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{a-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,\mathrm {d} s}$

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

La función beta incompleta regularizada es la función de distribución acumulativa de la distribución beta , y está relacionada con la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con probabilidad de éxito único p y número de ensayos de Bernoulli n : ${\displaystyle F(k;\,n,p)}$

${\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}$

Propiedades

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}$

Expansión de fracciones continuas

La expansión de fracciones continuas

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}}$

con coeficientes pares e impares respectivamente

${\displaystyle {d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}}$

${\displaystyle {d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}}$

converge rápidamente cuando no está cerca de 1. Los convergentes y son menores que , mientras que los convergentes y son mayores que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 4m}$ ${\displaystyle 4m+1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$ ${\displaystyle 4m+2}$ ${\displaystyle 4m+3}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$

Para , la función puede evaluarse de manera más eficiente utilizando . ^[8] ${\displaystyle x>{\frac {a+1}{a+b+2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}$

Función beta multivariante

La función beta se puede extender a una función con más de dos argumentos:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$

Esta función beta multivariable se utiliza en la definición de la distribución de Dirichlet . Su relación con la función beta es análoga a la relación entre los coeficientes multinomiales y los coeficientes binomiales. Por ejemplo, satisface una versión similar de la identidad de Pascal:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}$

Aplicaciones

La función beta es útil para calcular y representar la amplitud de dispersión de las trayectorias de Regge . Además, fue la primera amplitud de dispersión conocida en la teoría de cuerdas , conjeturada por primera vez por Gabriele Veneziano . También aparece en la teoría del proceso de fijación preferencial , un tipo de proceso de urna estocástica . La función beta también es importante en estadística, por ejemplo, para la distribución beta y la distribución beta prima . Como se mencionó brevemente anteriormente, la función beta está estrechamente relacionada con la función gamma y juega un papel importante en el cálculo .

Implementación de software

Incluso si no están disponibles directamente, los valores completos e incompletos de la función beta se pueden calcular utilizando funciones comúnmente incluidas en hojas de cálculo o sistemas de álgebra computacional .

En Microsoft Excel , por ejemplo, la función beta completa se puede calcular con la GammaLnfunción (o special.gammalnen el paquete SciPy de Python ):

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Este resultado se desprende de las propiedades enumeradas anteriormente.

La función beta incompleta no se puede calcular directamente utilizando dichas relaciones y se deben utilizar otros métodos. En GNU Octave, se calcula utilizando una expansión fraccionaria continua .

La función beta incompleta tiene una implementación existente en lenguajes comunes. Por ejemplo, betainc(función beta incompleta) en MATLAB y GNU Octave , pbeta(probabilidad de distribución beta) en R y betaincen SymPy . En SciPy , special.betainccalcula la función beta incompleta regularizada , que es, de hecho, la distribución beta acumulada. Para obtener la función beta incompleta real, se puede multiplicar el resultado de por el resultado devuelto por la función special.betainccorrespondiente . En Mathematica , y dan y , respectivamente.betaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b] ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

Véase también

• Distribución beta y distribución beta prima , dos distribuciones de probabilidad relacionadas con la función beta
• Suma de Jacobi , análoga de la función beta sobre cuerpos finitos .
• Integral de Nørlund-Rice
• Distribución de Yule-Simon

Referencias

1. Davis, Philip J. (1972), "6. Función gamma y funciones relacionadas", en Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas, Nueva York: Dover Publications , pág. 258, ISBN 978-0-486-61272-0. En concreto, véase 6.2 Función Beta.
2. Artin, Emil, La función gamma (PDF) , pp. 18-19, archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2016 , consultado el 11 de noviembre de 2016
3. Función Beta: Representaciones en serie (Fórmula 06.18.06.0007)
4. Mäklin, Tommi (2022), Métodos probabilísticos para metagenómica de alta resolución (PDF) , Serie de publicaciones A / Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Helsinki, Helsinki: Unigrafia, p. 27, ISBN 978-951-51-8695-9, ISSN  2814-4031
5. "Fórmula de reflexión de Euler - ProofWiki", proofwiki.org , consultado el 2 de septiembre de 2020
6. París, RB (2010), "Función Beta", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
7. Zelen, M.; Severo, NC (1972), "26. Funciones de probabilidad", en Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , págs. 944, ISBN 978-0-486-61272-0
8. Paris, RB (2010), "Funciones beta incompletas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Función beta", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.1 Función gamma, función beta, factoriales", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 27 de octubre de 2021 , consultado el 9 de agosto de 2011

Enlaces externos

• "Función beta", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluación de la función beta utilizando la transformada de Laplace en PlanetMath .
• Se pueden obtener valores arbitrariamente precisos de:
  • El sitio de funciones de Wolfram: Evaluar Beta Beta regularizada incompleta
  • danielsoper.com: Calculadora de función beta incompleta, Calculadora de función beta incompleta regularizada