La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π ). Como propiedad útil adicional, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros distintos de cero de x .
La única diferencia entre las dos definiciones está en la escala de la variable independiente (el eje x ) por un factor de π . En ambos casos, el valor de la función en la singularidad eliminable en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por tanto, una función completa .
La función también se ha llamado seno cardinal o función seno cardinal . [3] [4] El término sinc / ˈ s ɪ ŋ k / fue introducido por Philip M. Woodward en su artículo de 1952 "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones", en el que decía que la función "ocurre con tanta frecuencia en Fourier análisis y sus aplicaciones que parece merecer alguna notación propia", [5] y su libro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . [6] [7]
La función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez en esta forma por Lord Rayleigh en su expresión ( fórmula de Rayleigh ) para la función esférica de Bessel de orden cero del primer tipo.
Propiedades
Los cruces por cero del sinc no normalizado son en múltiplos enteros distintos de cero de π , mientras que los cruces por cero del sinc normalizado ocurren en números enteros distintos de cero.
Los máximos y mínimos locales del sinc no normalizado corresponden a sus intersecciones con la función coseno . Eso es,pecado( ξ )/ξ= cos( ξ ) para todos los puntos ξ donde la derivada depecado( x )/Xes cero y por lo tanto se alcanza un extremo local. Esto se deduce de la derivada de la función sinc:
Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del n -ésimo extremo con coordenada x positiva son
nnyx − x nξ 0 = (0, 1)
La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito :
Es una función de interpolación, es decir, sinc(0) = 1 y sinc( k ) = 0 para un entero k distinto de cero .
Las funciones x k ( t ) = sinc( t − k ) ( k entero) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio funcional L 2 ( R ) , con la frecuencia angular más alta ω H = π (es decir, la frecuencia de ciclo más alta f H =1/2).
Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:
El otro esporque( λx )/X, que no está acotada en x = 0 , a diferencia de su contraparte de la función sinc.
Usando sincronización normalizada,
La siguiente integral impropia involucra la función sinc (no normalizada):
Relación con la distribución del delta de Dirac
La función sinc normalizada se puede utilizar como una función delta naciente , lo que significa que se cumple el siguiente límite débil :
Éste no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que
para cada función de Schwartz , como puede verse en el teorema de inversión de Fourier . En la expresión anterior, como a → 0 , el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc se acerca al infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ±1/π x, independientemente del valor de a .
Esto complica la imagen informal de que δ ( x ) es cero para todo x excepto en el punto x = 0 , e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función en lugar de una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs .
Suma
Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.
La suma de sinc( n ) sobre el número entero n de 1 a ∞ es igualπ -1/2:
La suma de los cuadrados también es igualπ -1/2: [10] [11]
Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual1/2:
Las sumas alternas de los cuadrados y cubos también son iguales.1/2: [12]
Expansión de la serie
La serie de Taylor de la función sinc no normalizada se puede obtener a partir de la del seno (que también produce su valor de 1 en x = 0 ):
La serie converge para todo x . La versión normalizada se sigue fácilmente:
Euler comparó esta serie con la expansión de la forma del producto infinito para resolver el problema de Basilea .
Dimensiones superiores
El producto de funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una función sinc multivariada para la cuadrícula cartesiana cuadrada ( red ): sinc C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio 2-D). La función sinc para una red no cartesiana (por ejemplo, una red hexagonal ) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouin de esa red. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencia. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un producto tensorial simple. Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para las redes hexagonales , cúbicas centradas en el cuerpo , cúbicas centradas en las caras y otras redes de dimensiones superiores se puede derivar explícitamente [13] utilizando las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin y su conexión con los zonotopos .
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