En teoría de números , un primo reptend completo , primo reptend completo , primo propio [1] : 166 o primo largo en base b es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat
(donde p no divide a b ) da un número cíclico . Por lo tanto, la expansión en base b de repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente, como lo hace la de con rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p − 1. El número cíclico correspondiente al primo p tendrá p − 1 dígitos si y solo si p es un primo reptend completo. Es decir, el orden multiplicativo ord p b = p − 1, que es equivalente a que b sea una raíz primitiva módulo p .
El término "número primo largo" fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su libro Book of Numbers . En la OEIS de Sloane , se hace referencia a estos números primos como "números cíclicos", lo que genera confusión.
Se puede asumir la base 10 si no se especifica ninguna base, en cuyo caso la expansión del número se llama decimal periódico . En base 10, si un primo reptend completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en el reptend el mismo número de veces que cada otro dígito. [1] : 166 (Para dichos primos en base 10, consulte OEIS : A073761 .) De hecho, en base b , si un primo reptend completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b − 1 aparece en el reptend el mismo número de veces que cada otro dígito, pero no existe tal primo cuando b = 12, ya que cada primo reptend completo en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal primo cuando b es congruente con 0 o 1 módulo 4.
Los valores de p para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en decimal son:
Esta secuencia es el conjunto de primos p tales que 10 es una raíz primitiva módulo p . La conjetura de Artin sobre las raíces primitivas es que esta secuencia contiene el 37,395...% de los primos.
En base 2 , los primos de reptend completos son: (menores que 1000)
Para estos primos, 2 es una raíz primitiva módulo p , por lo que 2 n módulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p − 1.
Estas secuencias de período p − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para un desplazamiento de . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas rigurosas . [2]
Las secuencias decimales repetidas de base 2 en binario (también llamadas secuencias decimales de longitud máxima) han encontrado aplicaciones en codificación criptográfica y de corrección de errores. [3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales repetidas de base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para (cuando 2 es una raíz primitiva de p ) está dada por Kak. [4]
