En teoría de juegos , un equilibrio de Nash fuerte (SNE) es una combinación de acciones de los diferentes jugadores, en la que ninguna coalición de jugadores puede desviarse cooperativamente de una manera que beneficie estrictamente a todos sus miembros, dado que las acciones de los otros jugadores permanecen fijas. Esto contrasta con el equilibrio de Nash simple, que solo considera las desviaciones de los jugadores individuales. El concepto fue introducido por Israel Aumann en 1959. [1] El SNE es particularmente útil en áreas como el estudio de los sistemas de votación , en los que normalmente hay muchos más jugadores que resultados posibles, y por lo tanto los equilibrios de Nash simples son demasiado abundantes. [2]
Nessah y Tian [3] prueban que existe un SNE si se cumplen las siguientes condiciones:
Por ejemplo, consideremos un juego con dos jugadores, con espacios de estrategia [1/3, 2] y [3/4, 2], que son claramente compactos y convexos. Las funciones de utilidad son:
que son continuas y convexas. Queda por comprobar la consistencia de la coalición. Para cada tupla de estrategia x, comprobamos la mejor respuesta ponderada de cada coalición:
Por lo tanto, con w1=0,6,w2=0,4, el punto (1/3,3/4) es una respuesta óptima de bienestar social consistente para todas las coaliciones simultáneamente. Por lo tanto, existe una SNE en el mismo punto (1/3,3/4).
He aquí un ejemplo en el que la consistencia de la coalición falla y, de hecho, no hay SNE. [3] : Ejemplo 3.1 Hay dos jugadores, con espacio de estrategias [0,1]. Sus funciones de utilidad son:
Existe un único equilibrio de Nash en (0,0), con un vector de pagos (0,0). Sin embargo, no es SNE ya que la coalición {1,2} puede desviarse a (1,1), con un vector de pagos (1,1). De hecho, la consistencia de la coalición se viola en x = (0,0): para la coalición {1,2}, para cualquier vector de peso w S , la mejor respuesta de bienestar social está en la línea (1,0)--(1,1) o en la línea (0,1)--(1,1); pero ninguno de esos puntos es una mejor respuesta para el jugador que juega 1.
Nessah y Tian [3] también presentan una condición necesaria y suficiente para la existencia de SNE, junto con un algoritmo que encuentra un SNE si y solo si existe.
Todo SNE es un equilibrio de Nash. Esto se puede comprobar considerando una desviación de las n coaliciones singleton.
Toda SNE es débilmente eficiente en términos de Pareto . Esto se puede ver considerando una desviación de la gran coalición, es decir, la coalición de todos los jugadores.
Cada SNE está en el núcleo alfa débil y en el núcleo beta débil . [3]
El concepto de Nash fuerte es criticado por ser demasiado "fuerte" en el sentido de que el entorno permite una comunicación privada ilimitada. Como resultado de estos requisitos, rara vez existe un equilibrio de Nash fuerte en juegos lo suficientemente interesantes como para merecer estudio. Sin embargo, es posible que haya múltiples equilibrios de Nash fuertes. Por ejemplo, en la votación de aprobación , siempre hay un equilibrio de Nash fuerte para cualquier ganador de Condorcet que exista, pero esto solo es único (aparte de cambios intrascendentes) cuando hay un ganador de Condorcet mayoritario.
Un concepto de estabilidad de Nash relativamente más débil pero refinado se denomina equilibrio de Nash a prueba de coaliciones (CPNE, por sus siglas en inglés) [2] en el que los equilibrios son inmunes a desviaciones multilaterales que se autoimponen. Toda estrategia correlacionada respaldada por un dominio estricto iterado y en la frontera de Pareto es un CPNE. [4] Además, es posible que un juego tenga un equilibrio de Nash que sea resistente a coaliciones menores a un tamaño especificado k . El CPNE está relacionado con la teoría del núcleo .
Resulta confuso que el concepto de equilibrio de Nash fuerte no esté relacionado con el de equilibrio de Nash débil . Es decir, un equilibrio de Nash puede ser a la vez fuerte y débil, uno u otro, o ninguno de los dos.