Variedad paralelizable

En matemáticas , una variedad diferenciable de dimensión n se llama paralelizable ^[1] si existen campos vectoriales suaves en la variedad, tales que en cada punto de los vectores tangentes proporcionan una base del espacio tangente en . De manera equivalente, el fibrado tangente es un fibrado trivial , ^[2] de modo que el fibrado principal asociado de marcos lineales tiene una sección global en ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1},\ldots ,V_{n}\}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M.}$

Una elección particular de tal base de campos vectoriales se llama paralelización (o paralelismo absoluto ) de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

• Un ejemplo es el círculo : podemos tomar V ₁ como el campo vectorial tangente unitario, es decir, que apunta en sentido antihorario. El toro de dimensión también es paralelizable, como se puede ver al expresarlo como un producto cartesiano de círculos. Por ejemplo, tomemos y construyamos un toro a partir de un cuadrado de papel cuadriculado con los bordes opuestos pegados entre sí, para tener una idea de las dos direcciones tangentes en cada punto. De manera más general, todo grupo de Lie G es paralelizable, ya que una base para el espacio tangente en el elemento identidad se puede mover por la acción del grupo de traslación de G sobre G (cada traslación es un difeomorfismo y, por lo tanto, estas traslaciones inducen isomorfismos lineales entre espacios tangentes de puntos en G ). ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2,}$
• Un problema clásico era determinar cuáles de las esferas S ⁿ son paralelizables. El caso de dimensión cero S ⁰ es trivialmente paralelizable. El caso S ¹ es el círculo, que es paralelizable como ya se ha explicado. El teorema de la bola peluda muestra que S ² no es paralelizable. Sin embargo, S ³ es paralelizable, ya que es el grupo de Lie SU(2) . La única otra esfera paralelizable es S ⁷ ; esto fue demostrado en 1958, por Friedrich Hirzebruch , Michel Kervaire , y por Raoul Bott y John Milnor , en un trabajo independiente. Las esferas paralelizables corresponden precisamente a elementos de norma unitaria en las álgebras de división normadas de los números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones , lo que permite construir un paralelismo para cada uno. Probar que otras esferas no son paralelizables es más difícil, y requiere topología algebraica .
• El producto de variedades paralelizables es paralelizable.
• Toda variedad tridimensional cerrada orientable es paralelizable. ^[3]

Observaciones

• Cualquier variedad paralelizable es orientable .
• El término variedad enmarcada (ocasionalmente variedad manipulada ) se aplica más usualmente a una variedad incrustada con una trivialización dada del fibrado normal , y también a una variedad abstracta (es decir, no incrustada) con una trivialización estable dada del fibrado tangente .
• Un concepto relacionado es el de π-variedad . ^[4] Una variedad lisa se denomina π-variedad si, cuando está inserta en un espacio euclidiano de alta dimensión, su fibrado normal es trivial. En particular, toda variedad paralelizable es una π-variedad. ${\displaystyle M}$

Véase también

• Diagrama (topología)
• Variedad diferenciable
• Paquete de marcos
• Invariante de Kervaire
• Paquete de marcos ortonormales
• Paquete principal
• Conexión (matemáticas)
• Estructura G

Notas

1. Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial en variedades , Nueva York: Macmillan, pág. 160
2. Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton University Press, pág. 15, ISBN 0-691-08122-0
3. Benedetti, Ricardo; Lisca, Paolo (23 de julio de 2019). "Enmarcar 3 colectores con las manos desnudas". L'Enseignement Mathématique . 64 (3): 395–413. arXiv : 1806.04991 . doi :10.4171/LEM/64-3/4-9. ISSN  0013-8584. S2CID  119711633.
4. Milnor, John W. (1958), Variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF)

Referencias

• Bishop, Richard L. ; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover en 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Princeton University Press
• Milnor, John W. (1958), Variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF) , notas mimeografiadas