colector graduado

Colector con estructura supersimétrica.

En geometría algebraica , las variedades graduadas son extensiones del concepto de variedades basadas en ideas provenientes de la supersimetría y el álgebra supercommutativa . Tanto las variedades graduadas como las supervariedades se expresan en términos de haces de álgebras conmutativas graduadas . Sin embargo, las variedades graduadas se caracterizan por tener gavillas en variedades suaves , mientras que las supervariedades se construyen pegando gavillas de espacios supervectoriales .

Colectores graduados

Una variedad graduada de dimensión se define como un espacio localmente anillado donde es una variedad suave -dimensional y es un haz de álgebras de rango de Grassmann donde es el haz de funciones reales suaves . La gavilla se llama estructura de la variedad graduada y se dice que la variedad es el cuerpo de . Las secciones de la gavilla se denominan funciones graduadas en una variedad graduada . Forman un anillo conmutativo graduado llamado anillo de estructura de . El conocido teorema de Batchelor y el teorema de Serre-Swan caracterizan las variedades graduadas de la siguiente manera. ${\displaystyle (n,m)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$ ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$

Teorema de Serre-Swan para variedades graduadas

Sea una variedad graduada. Existe un haz de vectores con una fibra típica -dimensional tal que la estructura del haz de es isomorfa a la estructura del haz de secciones del producto exterior de , cuya fibra típica es el álgebra de Grassmann . ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle E\to Z}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \Lambda (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

Sea una variedad suave. Un álgebra conmutativa graduada es isomorfa al anillo estructural de una variedad graduada con un cuerpo si y sólo si es el álgebra exterior de algún módulo proyectivo de rango finito. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$

Funciones graduadas

Tenga en cuenta que el isomorfismo de Batchelor mencionado anteriormente no es canónico, pero a menudo se soluciona desde el principio. En este caso, cada gráfico de trivialización del paquete de vectores produce un dominio de división de una variedad graduada , donde está la base de la fibra para . Las funciones graduadas en dicho gráfico son funciones valoradas ${\displaystyle (U;z^{A},y^{a})}$ ${\displaystyle E\to Z}$ ${\displaystyle (U;z^{A},c^{a})}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \{c^{a}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}}$,

donde son funciones reales suaves y son elementos generadores impares del álgebra de Grassmann . ${\displaystyle f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle c^{a}}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

Campos vectoriales graduados

Dada una variedad graduada , las derivaciones graduadas de la estructura del anillo de funciones graduadas se denominan campos vectoriales graduados en . Constituyen una auténtica superálgebra de Lie con respecto al superbracket ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$

${\displaystyle [u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u}$,

donde denota la paridad de Grassmann de . Campos vectoriales graduados leídos localmente ${\displaystyle [u]}$ ${\displaystyle u\in \partial A(Z)}$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}}$.

Actúan sobre funciones graduadas por la regla. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}}$.

Formas exteriores graduadas

El -dual de los campos vectoriales graduados del módulo se denomina módulo de formas únicas exteriores graduadas . Las formas únicas exteriores graduadas se leen localmente de modo que el producto de dualidad (interior) entre y tome la forma ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$ ${\displaystyle O^{1}(Z)}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$ ${\displaystyle O^{1}(Z)}$

${\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}}$.

Provisto del producto exterior clasificado.

${\displaystyle dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}}$,

las formas únicas graduadas generan el álgebra exterior graduada de formas exteriores graduadas en una variedad graduada. Obedecen la relación ${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle \phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi }$,

donde denota el grado de forma de . El álgebra exterior graduada es un álgebra diferencial graduada con respecto al diferencial exterior graduado. ${\displaystyle |\phi |}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi }$,

donde las derivaciones graduadas , se clasifican conmutativas con las formas graduadas y . Están las relaciones familiares. ${\displaystyle \partial _{A}}$ ${\displaystyle \partial /\partial c^{a}}$ ${\displaystyle dz^{A}}$ ${\displaystyle dc^{a}}$

${\displaystyle d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '}$.

Geometría diferencial graduada

En la categoría de variedades graduadas, se consideran grupos de Lie graduados, paquetes graduados y paquetes principales graduados. También se introduce la noción de chorros de variedades graduadas, pero difieren de los chorros de haces graduados.

Cálculo diferencial graduado

El cálculo diferencial sobre variedades graduadas se formula como cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas graduadas de manera similar al cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas .

Resultado físico

Debido al teorema de Serre-Swan mencionado anteriormente, los campos clásicos impares en una variedad suave se describen en términos de variedades graduadas. Extendido a variedades graduadas, el bicomplejo variacional proporciona la formulación matemática estricta de la teoría de campos clásica de Lagrang y la teoría BRST de Lagrang .

Ver también

• Conexión (marco algebraico)
• Calificado (matemáticas)
• Teorema de Serre-Swan
• Supergeometria
• Supermanifold
• Supersimetría

Referencias

• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, La geometría de los supermanífolds (Kluwer, 1991) ISBN  0-7923-1440-9
• T. Stavracou, Teoría de las conexiones sobre paquetes principales graduados, Rev. Math. Física. 10 (1998) 47
• B. Kostant, variedades graduadas, teoría de Lie graduada y precuantización, en Métodos geométricos diferenciales en física matemática , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) p. 177
• A. Almorox, Teorías de supercalibre en variedades graduadas, en Métodos geométricos diferenciales en física matemática , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) p. 114
• D. Hernández Ruiperez, J. Muñoz Masque, Cálculo variacional global en variedades graduadas, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Teoría de campos clásica avanzada (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv : matemáticas-ph/0102016; arXiv : 1304.1371. 

enlaces externos

• G. Sardanashvily , Conferencias sobre supergeometría, arXiv :0910.0092.