Parámetro de ubicación

Concepto en estadística

En estadística , un parámetro de ubicación de una distribución de probabilidad es un parámetro con valor escalar o vectorial , que determina la "ubicación" o desplazamiento de la distribución. En la literatura sobre estimación de parámetros de ubicación, se encuentra que las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se definen formalmente de una de las siguientes maneras equivalentes: ${\displaystyle x_{0}}$

• ya sea como función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad ; ^[1] o ${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• tener una función de distribución acumulativa ; ^[2] o ${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• definiéndose como resultado de la transformación de variable aleatoria , donde es una variable aleatoria con una distribución determinada, posiblemente desconocida, ^[3] (Ver también #Additive_noise). ${\displaystyle x_{0}+X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo directo de parámetro de ubicación es el parámetro de la distribución normal . Para ver esto, tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad de una distribución normal puede tener el parámetro factorizado y escribirse como: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

cumpliendo así la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si se aumenta, la densidad de probabilidad o función de masa se desplaza rígidamente hacia la derecha, manteniendo su forma exacta. ${\displaystyle x_{0}}$

Un parámetro de ubicación también se puede encontrar en familias que tienen más de un parámetro, como las familias de escala de ubicación . En este caso, la función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad será un caso especial de la forma más general

${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$

donde es el parámetro de ubicación, θ representa parámetros adicionales y es una función parametrizada en los parámetros adicionales. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{\theta }}$

Definición [4]

Sea cualquier función de densidad de probabilidad y sea y cualquier constante dada. Entonces la función ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

es una función de densidad de probabilidad.

La familia de ubicaciones se define entonces de la siguiente manera:

Sea cualquier función de densidad de probabilidad. Entonces, la familia de funciones de densidad de probabilidad se denomina familia de ubicación con función de densidad de probabilidad estándar , donde se denomina parámetro de ubicación para la familia. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$

Ruido aditivo

Una forma alternativa de pensar en las familias de ubicaciones es mediante el concepto de ruido aditivo . Si es una constante y W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad, entonces tiene densidad de probabilidad y, por lo tanto, su distribución es parte de una familia de ubicaciones. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{W}(w),}$ ${\displaystyle X=x_{0}+W}$ ${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

Pruebas

Para el caso univariado continuo, considere una función de densidad de probabilidad , donde es un vector de parámetros. Se puede agregar un parámetro de ubicación definiendo: ${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]}$

se puede demostrar que es una pdf verificando si respeta las dos condiciones ^[5] y . se integra a 1 porque: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$

ahora, al hacer el cambio de variable y actualizar el intervalo de integración en consecuencia, se obtiene: ${\displaystyle u=x-x_{0}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$

porque es un pdf por hipótesis. se desprende de compartir la misma imagen de , que es un pdf por lo que su imagen está contenida en . ${\displaystyle f(x|\theta )}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Ver también

• Tendencia central
• Prueba de ubicación
• Estimador invariante
• Parámetro de escala
• Modelos de decisión de dos momentos

Referencias

1. Takeuchi, Kei (1971). "Un estimador uniformemente asintóticamente eficiente de un parámetro de ubicación". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 66 (334): 292–301. doi :10.1080/01621459.1971.10482258. S2CID  120949417.
2. Huber, Peter J. (1992). "Estimación robusta de un parámetro de localización". Avances en estadística . Serie Springer en Estadística. Saltador: 492–518. doi :10.1007/978-1-4612-4380-9_35. ISBN 978-0-387-94039-7.
3. Piedra, Charles J. (1975). "Estimadores adaptativos de máxima verosimilitud de un parámetro de ubicación". Los anales de la estadística . 3 (2): 267–284. doi : 10.1214/aos/1176343056 .
4. Casella, George; Berger, Roger (2001). Inferencia estadística (2ª ed.). pag. 116.ISBN​ 978-0534243128.
5. Ross, Sheldon (2010). Introducción a los modelos de probabilidad . Ámsterdam Boston: Prensa académica. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC  444116127.