Formalismo Press-Schechter

Modelo matemático

El formalismo Press-Schechter es un modelo matemático para predecir el número de objetos (como galaxias , cúmulos de galaxias o halos de materia oscura ^[1] ) de una determinada masa dentro de un volumen dado del Universo. Fue descrito en un artículo académico por William H. Press y Paul Schechter en 1974. ^[2]

Fondo

En el contexto de los modelos cosmológicos de materia oscura fría , las perturbaciones en todas las escalas se imprimen en el universo en tiempos muy tempranos, por ejemplo, por fluctuaciones cuánticas durante una era inflacionaria . Más tarde, a medida que la radiación se desplaza hacia el rojo, estas se convierten en perturbaciones de masa y comienzan a crecer linealmente. Solo mucho después de eso, comenzando con escalas de masa pequeñas y avanzando con el tiempo hasta escalas de masa mayores, las perturbaciones realmente colapsan para formar (por ejemplo) galaxias o cúmulos de galaxias, en la llamada formación de estructura jerárquica (ver Cosmología física ).

Press y Schechter observaron que la fracción de masa en objetos colapsados ​​con una masa mayor que una determinada masa M está relacionada con la fracción de muestras de volumen en las que las fluctuaciones de densidad inicial suavizadas están por encima de un determinado umbral de densidad. Esto produce una fórmula para la función de masa (distribución de masas) de los objetos en un momento dado.

Resultado

El formalismo de Press-Schechter predice que el número de objetos con masa entre y es: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M+dM}$ $${\displaystyle dn\equiv N(M)dM={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1+{\frac {n}{3}}\right){\frac {\bar {\rho }}{M^{2}}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/6}\exp \left(-\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/3}\right)dM}$$

donde es el índice del espectro de potencia de las fluctuaciones en el universo temprano , es la densidad media de materia (bariónica y oscura) del universo en el momento en que la fluctuación a partir de la cual se formó el objeto colapsó gravitacionalmente, y es una masa límite por debajo de la cual se formarán estructuras. Su valor es: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(k)\propto k^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle M^{*}}$

$${\displaystyle M^{*}=\left({\frac {{\bar {\rho }}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}=\left({\frac {{\bar {\rho }}_{0}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma _{0}^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}\cdot {\frac {R_{0}^{2}}{R^{2}}}}$$

${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar por unidad de volumen de la fluctuación a partir de la cual se formó el objeto que había colapsado gravitacionalmente, en el momento del colapso gravitacional, y R es la escala del universo en ese momento. Los parámetros con subíndice 0 corresponden al momento de la creación inicial de las fluctuaciones (o cualquier momento posterior antes del colapso gravitacional).

Cualitativamente, la predicción es que la distribución de masa es una ley de potencia para masas pequeñas, con un límite exponencial por encima de una masa característica que aumenta con el tiempo. Schechter ya había señalado estas funciones como funciones de luminosidad observada y ahora se conocen como funciones de luminosidad de Schechter. El formalismo de Press-Schechter proporcionó el primer modelo cuantitativo de cómo podrían surgir estas funciones.

El caso de un espectro de potencia sin escala, n = 0 (o, equivalentemente, un índice espectral escalar de 1), es muy cercano al espectro del modelo cosmológico estándar actual . En este caso, tiene una forma más simple. Escrito en unidades sin masa: ${\displaystyle dn}$

$${\displaystyle M{\frac {dn}{dM}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\bar {\rho }}{M}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{1/2}e^{-M/M^{*}}}$$

Supuestos y esquema de derivación

El formalismo Press-Schechter se deriva de tres supuestos clave: ^[3]

1. La materia en el Universo tiene perturbaciones que siguen una distribución gaussiana y la varianza de esta distribución depende de la escala, dada por el espectro de potencia. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P(k)}$
2. Las perturbaciones de la materia crecen linealmente con la función de crecimiento. ${\displaystyle \delta \propto D_{+}}$
3. Los halos son sobredensidades esféricas y virializadas con una densidad superior a una densidad crítica. ${\displaystyle \delta \geq \delta _{c}}$

En otras palabras, las fluctuaciones son pequeñas en algún momento cosmológico temprano y crecen hasta que cruzan un umbral que termina en un colapso gravitacional en un halo. Estas perturbaciones se modelan linealmente, aunque el colapso final es en sí mismo un proceso no lineal.

Introducimos el campo de densidad suavizado dado por promediado sobre una esfera con centro y masa contenida en su interior (es decir, se convoluciona con una función de ventana de sombrero de copa). El radio de la esfera es de orden ^[4] Entonces, si existe un halo en con masa al menos ${\displaystyle \delta _{M}({\vec {x}})~,}$ ${\displaystyle \delta ({\vec {x}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M\sim {\bar {\rho }}R^{3}~.}$ ${\displaystyle \delta _{M}({\vec {x}})\geq \delta _{c}~,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle M~.}$

Dado que las perturbaciones se distribuyen gaussianamente con un promedio de 0 y una varianza de 0, podemos calcular directamente la probabilidad de que se formen halos con masas al menos tan grandes como ${\displaystyle \delta _{M}}$ ${\displaystyle \sigma (M)~,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f(\delta _{M}>\delta _{c})=\int _{\delta _{c}}^{\infty }d\delta _{M}~{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma (M)}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta _{M}^{2}}{\sigma ^{2}(M)}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{c}}{\sigma (M)}}\right)~.}$$

De manera implícita, y depende del corrimiento al rojo, por lo que la probabilidad anterior también depende de ello. La varianza que se indica en el artículo de 1974 es donde es la desviación estándar de la masa en el volumen de la fluctuación. ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle \delta _{M}}$ $${\displaystyle \sigma (M)^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {V\cdot \sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{M\cdot \rho }}}$$ ${\displaystyle \Sigma }$

Nótese que, en el límite de grandes perturbaciones, esperamos que toda la materia esté contenida en halos tales que Sin embargo, la ecuación anterior nos da el límite Se puede hacer un argumento ad hoc y decir que las perturbaciones negativas no contribuyen en este esquema, de modo que estamos dejando fuera por error la mitad de la masa. Y entonces, el argumento Press-Schechter es ${\displaystyle \sigma (M)\gg \delta _{M}~,}$ ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})=1~.}$ ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})={\frac {1}{2}}~.}$ $${\displaystyle F(>M)=\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{M}}{\sigma (M)}}\right)~,}$$

la fracción de materia contenida en halos de masa ${\displaystyle >M~.}$

Fluctuación fraccionaria ; en un momento cosmológico determinado, se alcanza el colapso gravitacional después de que el universo se haya expandido por un factor de 1/δ desde ese momento. Utilizando esto, la distribución normal de las fluctuaciones, escrita en términos de , , y da la fórmula de Press-Schechter. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

Generalizaciones

Existen varias generalizaciones de la fórmula de Press-Schechter, como la aproximación de Sheth-Tormen . ^[5]

Referencias

1. Halos de materia oscura, funciones de masa y cosmología: la visión de un teórico
2. Formación de galaxias y cúmulos de galaxias por condensación gravitacional autosimilar, WH Press, P. Schechter, 1974
3. Barkana, Rennan (2018). La enciclopedia de la cosmología, volumen 1: Formación y evolución de galaxias. Vol. 2. World Scientific. doi :10.1142/9496. ISBN 9789814656221.
4. Baumann, Daniel (2022). Cosmología . 2022. doi :10.1017/9781108937092. ISBN 9781108838078.
5. Sheth, RK y Tormen, G. (1999). Sesgo a gran escala y división del fondo de pico. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 308(1), 119-126.