Formalismo de Keldysh

En física del no equilibrio , el formalismo de Keldysh o formalismo de Keldysh-Schwinger es un marco general para describir la evolución mecánica cuántica de un sistema en un estado de no equilibrio o sistemas sujetos a campos externos variables en el tiempo ( campo eléctrico , campo magnético , etc.). Históricamente, fue prefigurado por el trabajo de Julian Schwinger y propuesto casi simultáneamente por Leonid Keldysh ^[1] y, por separado, Leo Kadanoff y Gordon Baym ^[2] . Fue desarrollado posteriormente por colaboradores como OV Konstantinov y VI Perel. ^[3]

Se dan extensiones a sistemas cuánticos abiertos disipativos impulsados ​​no solo para sistemas bosónicos, ^[4] sino también para sistemas fermiónicos. ^[5]

El formalismo de Keldysh proporciona una forma sistemática de estudiar sistemas fuera de equilibrio, generalmente basada en funciones de dos puntos correspondientes a excitaciones en el sistema. El principal objeto matemático en el formalismo de Keldysh es la función de Green fuera de equilibrio (NEGF), que es una función de dos puntos de campos de partículas. De esta manera, se asemeja al formalismo de Matsubara , que se basa en funciones de Green de equilibrio en tiempo imaginario y trata solo sistemas de equilibrio.

Evolución temporal de un sistema cuántico

Consideremos un sistema mecánico cuántico general. Este sistema tiene el hamiltoniano . Sea el estado inicial del sistema el estado puro . Si ahora añadimos una perturbación dependiente del tiempo a este hamiltoniano, digamos , el hamiltoniano completo es y, por tanto, el sistema evolucionará en el tiempo bajo el hamiltoniano completo. En esta sección, veremos cómo funciona realmente la evolución temporal en la mecánica cuántica. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle H'(t)}$ ${\displaystyle H(t)=H_{0}+H'(t)}$

Consideremos un operador hermítico . En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, este operador depende del tiempo y el estado no. El valor esperado del operador está dado por ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

donde, debido a la evolución temporal de los operadores en la imagen de Heisenberg, . El operador unitario de evolución temporal es la exponencial ordenada en el tiempo de una integral, (Obsérvese que si el hamiltoniano en un momento conmuta con el hamiltoniano en momentos diferentes, entonces esto se puede simplificar a .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=U^{\dagger }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}}$

Para la mecánica cuántica perturbativa y la teoría cuántica de campos , a menudo es más conveniente utilizar la imagen de interacción . El operador de imagen de interacción es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}}$

donde . Entonces, definiendo tenemos ${\displaystyle U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}}$ ${\displaystyle S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{\dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(t,0){\mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

Dado que los operadores unitarios de evolución temporal satisfacen , la expresión anterior se puede reescribir como ${\displaystyle U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(\infty ,0)S(\infty ,t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$,

o reemplazado por cualquier valor de tiempo mayor que . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle t}$

Ordenación de rutas en el contorno de Keldysh

Podemos escribir la expresión anterior de manera más sucinta, de manera puramente formal, reemplazando cada operador con un operador ordenado por contorno , de modo que parametrice la ruta del contorno en el eje de tiempo comenzando en , procediendo a y luego regresando a . Esta ruta se conoce como el contorno de Keldysh. tiene la misma acción de operador que (donde es el valor de tiempo correspondiente a ) pero también tiene la información adicional de (es decir, estrictamente hablando si , incluso si para los tiempos correspondientes ). ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=\infty }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X(c_{1})\neq X(c_{2})}$ ${\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}$ ${\displaystyle X(t_{1})=X(t_{2})}$

Luego podemos introducir la notación de ordenamiento de trayectorias en este contorno, definiendo , donde es una permutación tal que , y los signos más y menos son para operadores bosónicos y fermiónicos respectivamente. Nótese que esta es una generalización del ordenamiento temporal . ${\displaystyle {\mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=(\pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)})\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}}$

Con esta notación, la evolución temporal anterior se escribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c)}}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}}$

Donde corresponde al tiempo en la rama hacia adelante del contorno de Keldysh, y la integral cubre todo el contorno de Keldysh. Para el resto de este artículo, como es habitual, normalmente utilizaremos simplemente la notación para donde es el tiempo correspondiente a , y si está en la rama hacia adelante o hacia atrás se infiere del contexto. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(c)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Técnica diagramática de Keldysh para las funciones de Green

La función de Green de no equilibrio se define como . ${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}}$

O, en la imagen de interacción, . Podemos expandir la exponencial como una serie de Taylor para obtener la serie de perturbación ${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!}$.

Este es el mismo procedimiento que en la teoría de perturbación diagramática del equilibrio, pero con la diferencia importante de que se incluyen ramas de contorno tanto directas como inversas.

Si, como suele ser el caso, es un polinomio o una serie en función de los cuerpos elementales , podemos organizar esta serie de perturbaciones en términos monomiales y aplicar todos los emparejamientos de Wick posibles a los cuerpos en cada monomio, obteniendo una suma de diagramas de Feynman . Sin embargo, las aristas del diagrama de Feynman corresponden a diferentes propagadores dependiendo de si los operadores emparejados provienen de las ramas directas o inversas. Es decir, ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

donde el ordenamiento antitemporal ordena a los operadores de manera opuesta al ordenamiento temporal y el signo en corresponde a campos bosónicos o fermiónicos. Nótese que es el propagador utilizado en la teoría del estado fundamental ordinaria. ${\displaystyle {\mathcal {\overline {T}}}}$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle G_{0}^{-+}}$ ${\displaystyle G_{0}^{--}}$

Por lo tanto, los diagramas de Feynman para funciones de correlación se pueden dibujar y sus valores se pueden calcular de la misma manera que en la teoría del estado fundamental, excepto con las siguientes modificaciones a las reglas de Feynman: Cada vértice interno del diagrama se etiqueta con o , mientras que los vértices externos se etiquetan con . Luego, cada borde (no renormalizado) dirigido desde un vértice (con posición , tiempo y signo ) a un vértice (con posición , tiempo y signo ) corresponde al propagador . Luego, los valores del diagrama para cada elección de signos (existen tales elecciones, donde es el número de vértices internos) se suman para encontrar el valor total del diagrama. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle s_{a}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{b}}$ ${\displaystyle t_{b}}$ ${\displaystyle s_{b}}$ ${\displaystyle G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})}$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle 2^{v}}$ ${\displaystyle v}$

Véase también

• Efecto Hall de giro
• Efecto Kondo

Referencias

1. Keldysh, Leonid (1965). "Técnica de diagramas para procesos fuera de equilibrio". Sov. Phys. JETP . 20 : 1018.
2. Kadanoff, Leo; Baym, Gordon (1962). Mecánica estadística cuántica . Nueva York. ISBN 020141046X.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Kamenev, Alex (2011). Teoría de campos de sistemas en desequilibrio . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521760829.OCLC 721888724  .
4. Sieberer, Lukas; Buchhold, M; Diehl, S (2 de agosto de 2016). "Teoría de campos de Keldysh para sistemas cuánticos abiertos controlados". Informes sobre el progreso en física . 79 (9): 096001. arXiv : 1512.00637 . Bibcode :2016RPPh...79i6001S. doi :10.1088/0034-4885/79/9/096001. PMID  27482736. S2CID  4443570.
5. Müller, Thomas; Gievers, Marcel; Fröml, Heinrich; Diehl, Sebastian; Chiocchetta, Alessio (2021). "Efectos de forma de pérdidas localizadas en cables cuánticos: resonancias disipativas y universalidad del no equilibrio". Physical Review B . 104 (15): 155431. arXiv : 2105.01059 . Código Bibliográfico :2021PhRvB.104o5431M. doi :10.1103/PhysRevB.104.155431. S2CID  233481829.

Otro

1. Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика". Наука, Глав. rojo. физико-математической лит-ры . 10 .
2. Jauho, AP (5 de octubre de 2006). "Introducción a la técnica de la función de Green de no equilibrio de Keldysh" (PDF) . nanoHUB . Consultado el 18 de junio de 2018 .
3. Lake, Roger (13 de enero de 2018). "Aplicación del formalismo de Keldysh al modelado y análisis de dispositivos cuánticos" (PDF) . nanoHUB . Consultado el 18 de junio de 2018 .
4. Kamenev, Alex (11 de diciembre de 2004). "Teoría de muchos cuerpos de sistemas en desequilibrio". arXiv : cond-mat/0412296 .
5. Kita, Takafumi (2010). "Introducción a la mecánica estadística del no equilibrio con campos cuánticos". Progreso de la física teórica . 123 (4): 581–658. arXiv : 1005.0393 . Código Bibliográfico :2010PThPh.123..581K. doi :10.1143/PTP.123.581. S2CID  119165404.
6. Ryndyk, DA; Gutiérrez, R.; Song, B.; Cuniberti, G. (2009). "Técnicas de función Green en el tratamiento del transporte cuántico a escala molecular". Dinámica de transferencia de energía en sistemas biomateriales . Springer Series in Chemical Physics. Vol. 93. Springer Verlag. pp. 213–335. arXiv : 0805.0628 . Bibcode :2009SSCP...93..213R. doi :10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN . 9783642023057. Número de identificación del sujeto  118343568.
7. Gen, Tatara; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). "Enfoque microscópico para la dinámica de las paredes de dominio impulsada por la corriente". Physics Reports . 468 (6): 213–301. arXiv : 0807.2894 . Bibcode :2008PhR...468..213T. doi :10.1016/j.physrep.2008.07.003. S2CID  119257806.
8. Gianluca Stefanucci y Robert van Leeuwen (2013). "Teoría de muchos cuerpos sin equilibrio de sistemas cuánticos: una introducción moderna" (Cambridge University Press, 2013). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979
9. Robert van Leeuwen, Nils Erik Dahlen, Gianluca Stefanucci, Carl-Olof Almbladh y Ulf von Barth, "Introducción al formalismo Keldysh", Lectures Notes in Physics 706 , 33 (2006). arXiv:cond-mat/0506130