Forma escalonada de filas

Posible forma de una matriz.

En álgebra lineal , una matriz está en forma escalonada por renglones si puede obtenerse como resultado de la eliminación gaussiana . Cada matriz se puede poner en forma escalonada por filas aplicando una secuencia de operaciones elementales por filas . El término escalón proviene del francés "échelon" ("nivel" o escalón de una escalera) y se refiere al hecho de que las entradas distintas de cero de una matriz en forma escalonada por filas parecen una escalera invertida.

Para matrices cuadradas , una matriz triangular superior con entradas distintas de cero en la diagonal está en forma escalonada por filas, y una matriz en forma escalonada por filas es (débilmente) triangular superior. Por lo tanto, la forma escalonada por filas puede verse como una generalización de la forma triangular superior para matrices rectangulares.

Una matriz está en forma escalonada por filas reducida si está en forma escalonada por filas, la primera entrada distinta de cero de cada fila es igual a y las que están encima de ella dentro de la misma columna son iguales . La forma escalonada reducida por filas de una matriz es única y no depende de la secuencia de operaciones elementales por filas utilizadas para obtenerla. La variante de la eliminación gaussiana que transforma una matriz a una forma escalonada reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Una matriz está en forma escalonada por columnas si su transpuesta está en forma escalonada por filas. Dado que todas las propiedades de las formas escalonadas por columnas pueden deducirse inmediatamente de las propiedades correspondientes de las formas escalonadas por filas, en el resto del artículo sólo se consideran las formas escalonadas por filas.

(General) forma escalonada de filas

Una matriz está en forma escalonada por renglones si

• Todas las filas que tienen solo cero entradas están en la parte inferior. ^[1]
• La entrada principal (es decir, la entrada distinta de cero más a la izquierda) de cada fila distinta de cero, llamada pivote , está a la derecha de la entrada principal de cada fila superior. ^[2]

Algunos textos añaden la condición de que el coeficiente principal debe ser 1 ^[3] , mientras que otros exigen esto sólo en forma escalonada reducida.

Estas dos condiciones implican que todas las entradas en una columna debajo de un coeficiente principal son ceros. ^[4]

El siguiente es un ejemplo de una matriz en forma escalonada por filas, pero no en forma escalonada por filas reducida (ver más abajo): ${\displaystyle 4\times 5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Muchas propiedades de las matrices se pueden deducir fácilmente a partir de su forma escalonada por filas, como el rango y el núcleo .

Forma escalonada de filas reducidas

Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (también llamada forma canónica por filas ) si satisface las siguientes condiciones: ^[5]

• Está en forma escalonada en hileras.
• La entrada principal en cada fila distinta de cero es 1 (llamada principal).
• Cada columna que contiene un 1 inicial tiene ceros en todas las demás entradas.

Si se verifican las dos primeras condiciones, la última condición equivale a:

• Cada columna que contiene un 1 inicial tiene ceros en todas las entradas encima del 1 inicial .

Si bien una matriz puede tener varias formas escalonadas, su forma escalonada reducida es única.

Dada una matriz en forma escalonada por filas reducida, si se permutan las columnas para tener el 1 principal de la i- ésima fila en la i -ésima columna, se obtiene una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

donde I es la matriz identidad de dimensión igual al rango de toda la matriz, X es una matriz con filas y columnas, y los dos ceros son matrices cero de tamaño apropiado. Dado que una permutación de columnas no es una operación de fila, la matriz resultante no es equivalente en operaciones de fila elementales. En el método de eliminación gaussiano, esto corresponde a una permutación de las incógnitas en el sistema lineal original que permite una parametrización lineal del espacio de filas, en el que los primeros coeficientes no están restringidos y los restantes se determinan como combinaciones lineales de estos. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$

Sistemas de ecuaciones lineales.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada por renglones si su matriz aumentada está en forma escalonada por renglones. De manera similar, se dice que un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada reducida o en forma canónica si su matriz aumentada está en forma escalonada reducida.

La forma canónica puede verse como una solución explícita del sistema lineal. De hecho, el sistema es inconsistente si y sólo si una de las ecuaciones de la forma canónica se reduce a 0 = 1; es decir, si hay un 1 inicial en la columna de los términos constantes ^[6] En caso contrario, reagrupando en el lado derecho todos los términos de las ecuaciones menos los principales, expresa las variables correspondientes a los pivotes como constantes o funciones lineales de las demás variables, si las hubiere.

Transformación a forma escalonada

La eliminación gaussiana es el algoritmo principal para transformar cada matriz en una matriz en forma escalonada por filas. Una variante, a veces llamada eliminación de Gauss-Jordan, produce una forma escalonada de filas reducida. Ambos consisten en una secuencia finita de operaciones elementales con renglones ; el número de operaciones de fila elementales requeridas es como máximo mn para una matriz de m por n . ^[7] Para una matriz dada, a pesar de que la forma escalonada por filas no es única, todas las formas escalonadas por filas, incluida la forma escalonada por filas reducida, tienen el mismo número de filas cero y los pivotes están ubicados en las mismas posiciones. ^[7]

Este es un ejemplo de una matriz en forma escalonada por filas reducida, que muestra que la parte izquierda de la matriz no siempre es una matriz identidad :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

Para una matriz con coeficientes enteros , la forma normal de Hermite es una forma escalonada por filas que se puede calcular sin introducir ningún denominador, utilizando la división euclidiana o la identidad de Bézout . La forma escalonada reducida de una matriz con entradas enteras generalmente contiene entradas no enteras, debido a la necesidad de dividir por su coeficiente principal cada fila de la forma escalonada.

La no unicidad de la forma escalonada por renglones de una matriz se deriva del hecho de que algunas operaciones elementales con renglones transforman una matriz en forma escalonada por renglones en otra matriz ( equivalente ) que también está en forma escalonada por renglones. Estas operaciones elementales de fila incluyen la multiplicación de una fila por un escalar distinto de cero y la suma de un múltiplo escalar de una fila a una de las filas anteriores. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

En este ejemplo, la forma escalonada de filas reducida única se puede obtener restando tres veces la segunda fila de la primera fila:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

Espacios afines de formas escalonadas reducidas

En esta sección y en la siguiente, denotamos la ubicación de las columnas que contienen las entradas principales de las filas sucesivas de una matriz en forma escalonada reducida (los pivotes) como , con ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

donde es la dimensión del espacio de filas de la matriz. Los datos se denominarán la forma de , que tiene entradas iniciales distintas de cero , las entradas de la columna superior e inferior desaparecen, al igual que todas las que están a la izquierda dentro de la misma fila, así como todas las entradas de la columna. ª fila para : ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.}$

Dado que todas las demás entradas son elementos arbitrarios del campo base , el conjunto de todas las matrices escalonadas reducidas con forma es un espacio K -afín de dimensión ^{[8] [9]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Para ver esto, tenga en cuenta que, de las posibles entradas de la matriz dentro de las primeras filas, se determinan como 's y 's porque están en las columnas que contienen los pivotes. También se requieren que sean más , porque están a la izquierda de los pivotes, pero de estos, ${\displaystyle nj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

También están en las columnas . Por lo tanto, el número total de entradas que no están fijadas para ser igual o es ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Rango máximo: celdas de Schubert

La forma escalonada por filas se puede utilizar para dar una descripción concreta de las celdas de Schubert asociadas con el subespacio Grassmanniano de dimensiones de un espacio vectorial . ${\displaystyle k}$

Si , las matrices son de rango máximo y determinan subespacios dimensionales del módulo libre , como el intervalo ${\displaystyle j=k\leq n}$ ${\displaystyle A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V:=K^{n}}$

${\displaystyle w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}}$

de combinaciones lineales

${\displaystyle W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k}$

de los vectores de base elemental , con coeficientes iguales a los vectores de fila. En este caso, el espacio afín es la celda de Schubert ^{[8] [9]} del Grassmanniano , que consta de subespacios -dimensionales de correspondientes a la partición entera ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)}$

con partes iguales a

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,}$

relativo a la bandera completa

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.}$

Esto significa que está formado por aquellos subespacios dimensionales cuyas intersecciones con los subespacios tienen dimensiones. ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.}$

Su dimensión es entonces igual al peso del tabique ^[8] ${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

${\displaystyle \dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.}$

Se puede dar una caracterización equivalente, pero más simple, de la celda de Schubert en términos de la bandera dual completa. ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.}$

Luego consta de aquellos subespacios dimensionales que tienen una base que consta de elementos. ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

de los subespacios que, con respecto a la base estándar, son los vectores fila de la forma escalonada de filas, escritos en orden inverso. ${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle (W_{k},\dots ,W_{1})}$

Notas

1. Expresado en términos de cada fila cero individual en León (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas ... (iii) Si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de la filas que tienen entradas distintas de cero."
2. León (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas ... (ii) Si la fila k no consta enteramente de ceros, el número de entradas de ceros a la izquierda en la fila es mayor que el número de entradas de ceros a la izquierda en la fila k ". ${\displaystyle k+1}$
3. Véase, por ejemplo, la primera cláusula de la definición de forma escalonada por filas en León (2010, p. 13): "Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas (i) Si la primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1."
4. Meyer 2000, pag. 44
5. Meyer 2000, pag. 48
6. Cheney, sala; Kincaid, David R. (29 de diciembre de 2010). Álgebra lineal: teoría y aplicaciones. Editores Jones y Bartlett. págs. 47–50. ISBN 9781449613525.
7. Antón, Howard; Rorres, Chris (23 de octubre de 2013). Álgebra lineal elemental: versión de aplicaciones, 11.ª edición. Educación global de Wiley. pag. 21.ISBN​ 9781118879160.
8. Fulton, William (1997). Cuadros jóvenes. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, capítulo. 9.4 . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
9. Kleiman, SL; Laksov, Dan (1972). "Cálculo de Schubert". Mensual Matemático Estadounidense . Sociedad Matemática Estadounidense. 79 (10): 1061–1082. doi :10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.

Referencias

• León, Steven J. (2010), Lynch, Deirdre; Hoffman, William; Celano, Caroline (eds.), Álgebra lineal con aplicaciones (8.ª ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-600929-0, Se dice que una matriz está en forma escalonada por filas (i) Si la primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1. (ii) Si la fila k no consta enteramente de ceros, el número de entradas con ceros iniciales en la fila es mayor que el número de entradas de ceros a la izquierda en la fila k . (iii) Si hay filas cuyas entradas son todas cero, están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero. ${\displaystyle k+1}$.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.

enlaces externos

• Formulario interactivo de filas escalonadas con salida racional