En estadística multivariada , si es un vector de variables aleatorias y es una matriz simétrica de dimensiones , entonces la cantidad escalar se conoce como forma cuadrática .![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Expectativa
Se puede demostrar que [1]
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \right]+\mu ^{T}\Lambda \ mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y son el valor esperado y la matriz de varianza-covarianza de , respectivamente, y tr denota la traza de una matriz. Este resultado sólo depende de la existencia de y ; en particular, no se requiere la normalidad de .![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un libro que trata el tema de las formas cuadráticas en variables aleatorias es el de Mathai y Provost. [2]
Prueba
Dado que la forma cuadrática es una cantidad escalar ,![{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon =\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A continuación, por la propiedad cíclica del operador de seguimiento ,
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )]=\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T} )].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que el operador de traza es una combinación lineal de los componentes de la matriz, de la linealidad del operador de expectativa se deduce que
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})]=\operatorname {tr} (\Lambda \operatorname {E} (\varepsilon \varepsilon ^{T} )).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una propiedad estándar de las varianzas nos dice entonces que esto es
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda (\Sigma +\mu \mu ^{T})).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicando nuevamente la propiedad cíclica del operador trace, obtenemos
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\Lambda \mu \mu ^{T})=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\mu ^{T}\Lambda \mu )=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\mu ^{T}\Lambda \mu .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Varianza en el caso gaussiano
En general, la varianza de una forma cuadrática depende en gran medida de la distribución de . Sin embargo, si sigue una distribución normal multivariada, la varianza de la forma cuadrática se vuelve particularmente manejable. Supongamos por el momento que es una matriz simétrica. Entonces,![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [3]
De hecho, esto se puede generalizar para encontrar la covarianza entre dos formas cuadráticas de la misma (una vez más, ambas deben ser simétricas):![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda _ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [4]
Además, una forma cuadrática como ésta sigue una distribución chi-cuadrado generalizada .
Calcular la varianza en el caso no simétrico
El argumento a favor de lo general se puede derivar observando que![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda ^{T}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces
![{\displaystyle \varepsilon ^{T}{\tilde {\Lambda }}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)\varepsilon /2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es una forma cuadrática en la matriz simétrica , por lo que las expresiones de media y varianza son las mismas, siempre que se reemplace por la misma.![{\displaystyle {\tilde {\Lambda }}=\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos de formas cuadráticas
En el entorno donde se tiene un conjunto de observaciones y una matriz de operadores , la suma residual de cuadrados se puede escribir como forma cuadrática en :
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textrm {RSS}}=y^{T}(IH)^{T}(IH)y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para procedimientos donde la matriz es simétrica e idempotente , y los errores son gaussianos con matriz de covarianza , tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad y parámetro de no centralidad , donde![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=\operatorname {tr} \left[(IH)^{T}(IH)\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda =\mu ^{T}(IH)^{T}(IH)\mu /2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se puede encontrar haciendo coincidir los dos primeros momentos centrales de una variable aleatoria chi-cuadrado no central con las expresiones dadas en las dos primeras secciones. Si las estimaciones no tienen sesgo , entonces la no centralidad es cero y sigue una distribución central de chi-cuadrado.![{\displaystyle Hy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Bates, Douglas. "Formas cuadráticas de variables aleatorias" (PDF) . Conferencias STAT 849 . Consultado el 21 de agosto de 2011 .
- ^ Mathai, AM y Provost, Serge B. (1992). Formas cuadráticas en variables aleatorias . Prensa CRC. pag. 424.ISBN 978-0824786915.
- ^ Rencher, Alvin C.; Schaalje, G. Bruce. (2008). Modelos lineales en estadística (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778.
- ^ Graybill, Franklin A. Matrices con aplicaciones en estadística (2. ed.). Wadsworth: Belmont, California p. 367.ISBN 0534980384.