Flujo en conductos parcialmente llenos

En mecánica de fluidos , los flujos en conductos cerrados se encuentran generalmente en lugares como desagües y alcantarillas donde el líquido fluye continuamente en el canal cerrado y el canal se llena solo hasta una cierta profundidad. Ejemplos típicos de tales flujos son el flujo en canales circulares y en forma de Δ.

El flujo en conducto cerrado difiere del flujo en canal abierto solo en el hecho de que en el flujo en canal cerrado hay un ancho superior de cierre mientras que los canales abiertos tienen un lado expuesto a su entorno inmediato. Los flujos en canal cerrado generalmente se rigen por los principios del flujo en canal ya que el líquido que fluye posee una superficie libre dentro del conducto. ^[1] Sin embargo, la convergencia del límite hacia la parte superior imparte algunas características especiales al flujo, como que los flujos en canal cerrado tienen una profundidad finita en la que se produce la descarga máxima. ^[2] Para fines computacionales, el flujo se toma como flujo uniforme. La ecuación de Manning , la ecuación de continuidad (Q = AV) y las relaciones geométricas de la sección transversal del canal se utilizan para el cálculo matemático de dichos flujos en canal cerrado. ^[2]

Análisis matemático del flujo en canal circular

Consideremos un conducto circular cerrado de diámetro D, parcialmente lleno de líquido que fluye por su interior. Sea 2θ el ángulo, en radianes , subtendido por la superficie libre en el centro del conducto, como se muestra en la figura (a).

El área de la sección transversal (A) del líquido que fluye a través del conducto se calcula como:

Figura (a) Conducto parcialmente lleno a través del cual fluye el fluido.

${\displaystyle {\begin{aligned}A=&{{D^{2}\theta } \over {4}}-2{\biggl (}\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {D}{2}}\sin \theta {\frac {D}{2}}\cos \theta {\Biggr )}\\&={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}\\\end{aligned}}}$ (Ecuación 1)

Ahora, el perímetro mojado (P) viene dado por:

${\displaystyle P=D\theta }$

Por lo tanto, el radio hidráulico (R _h ) se calcula utilizando el área de la sección transversal (A) y el perímetro mojado (P) utilizando la relación:

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}={\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}}$^[1] (Ecuación 2)

La velocidad de descarga se puede calcular a partir de la ecuación de Manning  :

${\displaystyle Q={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}S^{\frac {1}{2}}{{{\biggl (}{\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$. ^[1]

${\displaystyle =K{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\Biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ (Ecuación 3)

donde la constante  ${\displaystyle K={\frac {{D}^{\frac {8}{3}}}{{4}^{\frac {5}{3}}}}{\frac {{S}^{\frac {1}{2}}}{n}}}$

Ahora, al introducir la ecuación anterior , obtenemos la tasa de descarga para un conducto que fluye lleno (Q _lleno ) ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle Q_{(full)}=K\pi }$ (Ecuación 4)

Cantidades finales adimensionales

En forma adimensional, la tasa de descarga Q se expresa generalmente en forma adimensional como:

${\displaystyle {\frac {Q}{{Q}_{full}}}={\frac {1}{\pi }}{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ ^[1] (Ecuación 5)

De manera similar para la velocidad (V) podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {V}{{V}_{(full)}}}={{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ ^[1] (Ecuación 6)

La profundidad de flujo (H) se expresa en forma adimensional como:

${\displaystyle {\frac {H}{D}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta }$ ^[1] (Ecuación 7)

Características del flujo

Las variaciones de Q/Q _(lleno) y V/V _(lleno) con la relación H/D se muestran en la figura (b). De la ecuación 5, se encuentra que el valor máximo de Q/Q _(lleno) es igual a 1,08 en H/D = 0,94, lo que implica que la tasa máxima de descarga a través de un conducto se observa para un conducto parcialmente lleno. De manera similar, el valor máximo de V/V _(lleno) (que es igual a 1,14) también se observa en el conducto parcialmente lleno con H/D = 0,81. La explicación física para estos resultados se atribuye generalmente a la variación típica del coeficiente de Chézy con el radio hidráulico Rh _en la fórmula de Manning. ^[1] Sin embargo, se toma una suposición importante de que el coeficiente de rugosidad de Manning 'n' es independiente de la profundidad del flujo al calcular estos valores. Además, la curva dimensional de Q/Q(full) muestra que cuando la profundidad es mayor que aproximadamente 0,82D, entonces hay dos posibles profundidades diferentes para la misma descarga, una por encima y otra por debajo del valor de 0,938D ^[3].

En la práctica, es común restringir el flujo por debajo del valor de 0,82D para evitar la región de dos profundidades normales debido al hecho de que si la profundidad excede la profundidad de 0,82D, entonces cualquier pequeña perturbación en la superficie del agua puede hacer que esta busque profundidades normales alternativas, lo que conduce a la inestabilidad de la superficie. ^[2]

Referencias

1. Suman Chakraborty, SK Som (2004). Introducción a la mecánica de fluidos y máquinas de fluidos . Nueva Delhi: McGraw Hill Education. págs. 599, 600. ISBN 978-0-07-132919-4.
2. SUBRAMANYAM, K. (2009). FLUJO EN CANALES ABIERTOS . NUEVA DELHI: McGRAW HILL PUBLICATIONS. págs. 106, 107, 113. ISBN 978-0-07-008695-1.
3. CHOW, VEN TE (1959). HIDRÁULICA DE CANAL ABIERTO . NUEVA YORK: McGraw Hill Publications. pág. 134. OCLC  4010975.