Flujo de Beltrami

En dinámica de fluidos, los flujos de Beltrami son flujos en los que el vector de vorticidad y el vector de velocidad son paralelos entre sí. En otras palabras, el flujo de Beltrami es un flujo en el que el vector de Lamb es cero. Recibe su nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami debido a su derivación del campo vectorial de Beltrami , mientras que los desarrollos iniciales en dinámica de fluidos fueron realizados por el científico ruso Ippolit S. Gromeka en 1881. ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Descripción

Dado que el vector de vorticidad y el vector de velocidad son colineales entre sí, podemos escribir ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,}$

donde es una función escalar. Una consecuencia inmediata del flujo de Beltrami es que nunca puede ser un flujo plano o axisimétrico porque en esos flujos la vorticidad siempre es perpendicular al campo de velocidad. La otra consecuencia importante se comprenderá al observar la ecuación de vorticidad incompresible. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,}$

donde es una fuerza externa del cuerpo, como un campo gravitacional, un campo eléctrico, etc., y es la viscosidad cinemática. Como y son paralelas, los términos no lineales en la ecuación anterior son idénticamente cero . Por lo tanto, los flujos de Beltrami satisfacen la ecuación lineal. ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.}$

Cuando , los componentes de la vorticidad satisfacen una ecuación de calor simple . ${\displaystyle \mathbf {f} =0}$

Flujo trkaliano

Viktor Trkal consideró los flujos de Beltrami sin ninguna fuerza externa en 1919 ^[3] para la función escalar , es decir, ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .}$

Introduzca la siguiente separación de variables

${\displaystyle \mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),}$

entonces la ecuación satisfecha por se convierte en ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .}$

Las funciones Chandrasekhar-Kendall satisfacen esta ecuación.

Flujo generalizado de Beltrami

El flujo de Beltrami generalizado satisface la condición ^[4]

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$

que es menos restrictiva que la condición de Beltrami . A diferencia de los flujos Beltrami normales, el flujo Beltrami generalizado se puede estudiar para flujos planos y axisimétricos. ${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$

Flujos planos constantes

Para el flujo Beltrami generalizado y estable, tenemos y como también es plano, tenemos . Introduzca la función de corriente ${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )}$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .}$

La integración de da . Por lo tanto, la solución completa es posible si satisface las tres ecuaciones siguientes ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \zeta =-f(\psi )}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).}$

Se considera un caso especial cuando el campo de flujo tiene vorticidad uniforme . Wang (1991) ^[5] dio la solución generalizada como ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$

${\displaystyle \zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by}$

Suponiendo una función lineal para . Sustituyendo esto en la ecuación de vorticidad e introduciendo la separación de variables con la constante de separación, se obtiene ${\displaystyle A(x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)=X(x)Y(y)}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.}$

La solución obtenida para diferentes opciones se puede interpretar de forma diferente, por ejemplo, representa un flujo aguas abajo de una rejilla uniforme, representa un flujo creado por una placa de estiramiento, representa un flujo en una esquina, representa un perfil de succión asintótico , etc. ${\displaystyle a,\ b,\ \lambda }$ ${\displaystyle a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0}$ ${\displaystyle a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0}$ ${\displaystyle a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0}$ ${\displaystyle a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0}$

Flujos planos inestables

Aquí,

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)}$.

Los vórtices en descomposición de Taylor

GI Taylor dio la solución para un caso especial donde , donde es una constante en 1923. ^[6] Demostró que la separación satisface la ecuación y también ${\displaystyle \zeta =K\psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .}$

Taylor también consideró un ejemplo, un sistema en descomposición de remolinos que giran alternativamente en direcciones opuestas y están dispuestos en una disposición rectangular.

${\displaystyle \Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}}$

que satisface la ecuación anterior con , donde es la longitud del cuadrado formado por un remolino. Por lo tanto, este sistema de remolinos se desintegra como ${\displaystyle \lambda =2\pi ^{2}/d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.}$

O. Walsh generalizó la solución de remolino de Taylor en 1992. ^[7] La ​​solución de Walsh tiene la forma , donde y ${\displaystyle \mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Flujos axisimétricos constantes

Aquí tenemos . La integración de da y las tres ecuaciones son ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)}$ ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \zeta =rf(\psi )}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )}$

La primera ecuación es la ecuación de Hicks . Marris y Aswani (1977) ^[8] demostraron que la única solución posible es y las ecuaciones restantes se reducen a ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0}$

Un conjunto simple de soluciones para la ecuación anterior es

${\displaystyle \psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)}$

${\displaystyle c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0}$representa un flujo debido a dos corrientes rotacionales opuestas en una superficie parabólica, representa un flujo rotacional en una pared plana, representa un vórtice elipsoidal de flujo (caso especial: vórtice esférico de Hill), representa un tipo de vórtice toroidal, etc. ${\displaystyle c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0}$ ${\displaystyle c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0}$

La solución homogénea para como lo muestra Berker ^[9] ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)}$

donde son la función de Bessel de primer tipo y la función de Bessel de segundo tipo respectivamente. Un caso especial de la solución anterior es el flujo de Poiseuille para geometría cilíndrica con velocidades de transpiración en las paredes. Chia-Shun Yih encontró una solución en 1958 para el flujo de Poiseuille en un sumidero cuando . ^[10] ${\displaystyle J_{1}(kr),Y_{1}(kr)}$ ${\displaystyle C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0}$

Flujo de Beltrami en mecánica de fluidos

Los campos de Beltrami son una solución estable clásica de la ecuación de Euler . Los campos de Beltrami desempeñan un papel importante en la mecánica de fluidos (ideal) en equilibrio, ya que la complejidad solo se espera para estos campos.

Véase también

• Flujo de Gromeka–Arnold–Beltrami–Childress (GABC)

Referencias

1. Gromeka, I. "Algunos casos de movimiento de fluidos incompresibles". Notas científicas de la Universidad de Kazán (1881): 76–148.
2. Truesdell, Clifford . La cinemática de la vorticidad. Vol. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.
3. Trkal, V. "Una observación sobre la hidrodinámica de fluidos viscosos". Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302–311.
4. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.
5. Wang, CY 1991 Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
6. Taylor, GI "LXXV. Sobre la descomposición de los vórtices en un fluido viscoso". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 46.274 (1923): 671–674.
7. Walsh, O. (1992). Soluciones de Eddy de las ecuaciones de Navier-Stokes. En Las ecuaciones de Navier-Stokes II: teoría y métodos numéricos (pp. 306-309). Springer, Berlín, Heidelberg.
8. Marris, AW y MG Aswani. "Sobre la imposibilidad general de movimientos de Navier-Stokes axisimétricos controlables". Archivo de Mecánica y Análisis Racional 63.2 (1977): 107–153.
9. Berker, R. "Integración de ecuaciones del movimiento de un fluido viscoso incompresible. Handbuch der Physik". (1963).
10. Yih, CS (1959). Dos soluciones para flujo rotacional no viscoso con remolinos en las esquinas. Journal of Fluid Mechanics, 5(1), 36-40.