Filtro de peine

Filtro de procesamiento de señal

Estructura de filtro de peine anticipado

En el procesamiento de señales , un filtro de peine es un filtro implementado agregando a sí mismo una versión retardada de una señal , causando interferencias constructivas y destructivas . La respuesta de frecuencia de un filtro de peine consiste en una serie de muescas regularmente espaciadas entre picos regularmente espaciados (a veces llamados dientes ) que dan la apariencia de un peine .

Los filtros de peine existen en dos formas, avance y retroalimentación ; que se refieren a la dirección en la que las señales se retrasan antes de agregarse a la entrada.

Los filtros de peine se pueden implementar en tiempo discreto o en tiempo continuo que son muy similares.

Aplicaciones

Filtro tipo peine PAL avanzado II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Los filtros de peine se emplean en una variedad de aplicaciones de procesamiento de señales, que incluyen:

• Filtros de peine integrador en cascada (CIC), comúnmente utilizados para suavizar durante operaciones de interpolación y diezmado que cambian la frecuencia de muestreo de un sistema de tiempo discreto.
• Los filtros de peine 2D y 3D implementados en hardware (y ocasionalmente software) en decodificadores de televisión analógica PAL y NTSC reducen artefactos como el rastreo de puntos .
• Procesamiento de señales de audio , incluido retardo , flanging , síntesis de modelado físico y síntesis de guías de ondas digitales . Si el retraso se establece en unos pocos milisegundos, un filtro de peine puede modelar el efecto de las ondas estacionarias acústicas en una cavidad cilíndrica o en una cuerda vibrante .
• En astronomía, el astropeine promete aumentar casi cien veces la precisión de los espectrógrafos existentes.

En acústica , el filtrado de peine puede surgir como un artefacto no deseado. Por ejemplo, dos altavoces que reproducen la misma señal a diferentes distancias del oyente crean un efecto de filtrado en peine en el audio. ^[1] En cualquier espacio cerrado, los oyentes escuchan una mezcla de sonido directo y sonido reflejado. El sonido reflejado toma un camino más largo y retardado en comparación con el sonido directo, y se crea un filtro de peine donde los dos se mezclan ante el oyente. ^[2] De manera similar, el filtrado en peine puede resultar de la mezcla mono de múltiples micrófonos, de ahí la regla general 3:1 de que los micrófonos vecinos deben estar separados al menos tres veces la distancia desde su fuente hasta el micrófono. ^{[ cita necesaria ]}

Implementación en tiempo discreto

Formulario de avance

Estructura de filtro de peine feedforward en tiempo discreto

La estructura general de un filtro de peine feedforward se describe mediante la ecuación en diferencias :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]}$

donde es la duración del retardo (medida en muestras) y α es un factor de escala aplicado a la señal retardada. La transformada z de ambos lados de la ecuación produce: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)}$

La función de transferencia se define como:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

Respuesta frecuente

Respuesta de magnitud anticipada para varios valores positivos de α y K = 1 en tiempo discreto

Respuesta de magnitud anticipada para varios valores negativos de α y K = 1 en tiempo discreto

La respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto expresada en el dominio z se obtiene mediante sustitución donde es la unidad imaginaria y es la frecuencia angular . Por lo tanto, para el filtro de peine feedforward: ${\displaystyle z=e^{j\omega },}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)=1+\alpha e^{-j\omega K}}$

Usando la fórmula de Euler , la respuesta en frecuencia también viene dada por

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\omega K)}$

A menudo es de interés la respuesta de magnitud , que ignora la fase. Esto se define como:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}}}}$

En el caso del filtro de peine feedforward, esto es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|H(e^{j\omega })\right|&={\sqrt {(1+\alpha \cos(\omega K))^{2}+(\alpha \sin(\omega K))^{2}}}\\&={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\end{aligned}}}$

El término es constante, mientras que el término varía periódicamente . Por tanto, la respuesta de magnitud del filtro de peine es periódica. ${\displaystyle (1+\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)}$

Los gráficos muestran la respuesta de magnitud periódica para varios valores de Algunas propiedades importantes: ${\displaystyle \alpha .}$

• La respuesta cae periódicamente hasta un mínimo local (a veces conocido como muesca ) y aumenta periódicamente hasta un máximo local (a veces conocido como pico o diente ).
• Para valores positivos , el primer mínimo ocurre en la mitad del período de retraso y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retraso a partir de entonces: ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots \\\omega &={\frac {\pi }{K}},{\frac {3\pi }{K}},{\frac {5\pi }{K}}\cdots \,\end{aligned}}}$$

• Los niveles de máximos y mínimos siempre son equidistantes de 1.
• Cuando los mínimos tienen amplitud cero. En este caso, los mínimos a veces se conocen como nulos . ${\displaystyle \alpha =\pm 1,}$
• Los máximos para valores positivos de coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Respuesta impulsiva

El filtro de peine feedforward es uno de los filtros de respuesta de impulso finito más simples . ^[3] Su respuesta es simplemente el impulso inicial con un segundo impulso después del retraso.

Interpretación polo-cero

Mirando nuevamente la función de transferencia de dominio z del filtro de peine feedforward:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

el numerador es igual a cero siempre que z ^K = − α . Esto tiene K soluciones, equiespaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero en z ^K = 0 , dando K polos en z = 0 . Esto lleva a un gráfico polo-cero como los que se muestran.

Formulario de comentarios

Estructura del filtro de peine de retroalimentación en tiempo discreto

De manera similar, la estructura general de un filtro de peine de retroalimentación se describe mediante la ecuación en diferencias :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]}$

Esta ecuación se puede reorganizar para que todos los términos estén en el lado izquierdo y luego tomar la transformada z : ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)}$

Por tanto, la función de transferencia es:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Respuesta frecuente

Respuesta de magnitud de retroalimentación para varios valores positivos de α y K = 2 en tiempo discreto

Respuesta de magnitud de retroalimentación para varios valores negativos de α y K = 2 en tiempo discreto

Sustituyendo en la expresión del dominio z del filtro de peine de retroalimentación : ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,,}$

la respuesta de magnitud se convierte en:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,.}$

Nuevamente, la respuesta es periódica, como lo demuestran los gráficos. El filtro de peine de retroalimentación tiene algunas propiedades en común con la forma de retroalimentación:

• La respuesta cae periódicamente a un mínimo local y aumenta a un máximo local.
• Los máximos para valores positivos de coinciden con los mínimos para valores negativos de y viceversa. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$
• Para valores positivos, el primer máximo ocurre en 0 y se repite en múltiplos pares de la frecuencia de retardo a partir de entonces: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots \\\omega &=0,{\frac {2\pi }{K}},{\frac {4\pi }{K}},{\frac {6\pi }{K}}\cdots \end{aligned}}}$

Sin embargo, también existen algunas diferencias importantes porque la respuesta de magnitud tiene un término en el denominador :

• Los niveles de los máximos y mínimos ya no son equidistantes de 1. Los máximos tienen una amplitud de1/1- α.
• El filtro sólo es estable si | α | es estrictamente menor que 1. Como se puede ver en los gráficos, como | α | aumenta, la amplitud de los máximos aumenta cada vez más rápidamente.

Respuesta impulsiva

El filtro de peine de retroalimentación es un tipo simple de filtro de respuesta de impulso infinito . ^[4] Si es estable, la respuesta simplemente consiste en una serie repetida de impulsos que disminuyen en amplitud con el tiempo.

Interpretación polo-cero

Mirando nuevamente la función de transferencia de dominio z del filtro de peine de retroalimentación:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Esta vez, el numerador es cero en z ^K = 0 , lo que da K ceros en z = 0 . El denominador es igual a cero siempre que z ^K = α . Esto tiene K soluciones, equiespaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo ; estos son los polos de la función de transferencia. Esto conduce a un gráfico polo-cero como los que se muestran a continuación.

Implementación en tiempo continuo

Los filtros de peine también se pueden implementar en tiempo continuo que se puede expresar en el dominio de Laplace como una función del parámetro complejo del dominio de frecuencia análogo al dominio z. Los circuitos analógicos utilizan algún tipo de línea de retardo analógica para el elemento de retardo. Las implementaciones de tiempo continuo comparten todas las propiedades de las respectivas implementaciones de tiempo discreto. ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

Formulario de avance

La forma de avance puede describirse mediante la ecuación:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )}$

donde τ es el retraso (medido en segundos). Este tiene la siguiente función de transferencia:

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }}$

La forma feedforward consta de un número infinito de ceros espaciados a lo largo del eje jω ( que corresponde al dominio de Fourier ).

Formulario de comentarios

El formulario de retroalimentación tiene la ecuación:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )}$

y la siguiente función de transferencia:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}}$

La forma de retroalimentación consta de un número infinito de polos espaciados a lo largo del eje jω.

Ver también

• peine de dirac
• Interferómetro Fabry-Pérot

Referencias

1. Roger Russell. «Audiencia, Columnas y Filtrado de Peine» . Consultado el 22 de abril de 2010 .
2. "Conceptos básicos de la acústica". Corporación de Ciencias Acústicas. Archivado desde el original el 7 de mayo de 2010.
3. Smith, JO "Filtros de peine de retroalimentación". Archivado desde el original el 6 de junio de 2011.
4. Smith, JO "Filtros de peine de comentarios". Archivado desde el original el 6 de junio de 2011.

enlaces externos

• Medios relacionados con los filtros tipo peine en Wikimedia Commons