Coeficiente de acoplamiento de resonadores

El coeficiente de acoplamiento de los resonadores es un valor adimensional que caracteriza la interacción de dos resonadores. Los coeficientes de acoplamiento se utilizan en la teoría de filtros resonadores. Los resonadores pueden ser tanto electromagnéticos como acústicos. Los coeficientes de acoplamiento junto con las frecuencias de resonancia y los factores de calidad externos de los resonadores son los parámetros generalizados de los filtros. Para ajustar la respuesta de frecuencia del filtro es suficiente optimizar solo estos parámetros generalizados.

Evolución del término

Este término fue introducido por primera vez en la teoría de filtros por M. Dishal. ^{[1] [ se necesita una fuente no primaria ]} En cierto grado es un análogo del coeficiente de acoplamiento de inductores acoplados. El significado de este término se ha mejorado muchas veces con el progreso en la teoría de resonadores y filtros acoplados . Las definiciones posteriores del coeficiente de acoplamiento son generalizaciones o refinamientos de definiciones anteriores.

Coeficiente de acoplamiento considerado como una constante positiva

En la monografía de G. Matthaei et al . ^[2] se dan definiciones conocidas del coeficiente de acoplamiento de los resonadores . Nótese que estas definiciones son aproximadas porque se formularon asumiendo que el acoplamiento entre resonadores es suficientemente pequeño. El coeficiente de acoplamiento para el caso de dos resonadores iguales se define mediante la fórmula ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ (1)

donde son las frecuencias de las oscilaciones acopladas pares e impares del par descargado de resonadores y Es obvio que el coeficiente de acoplamiento definido por la fórmula (2) es una constante positiva que caracteriza la interacción de los resonadores en la frecuencia de resonancia ${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$ ${\displaystyle f_{0}.}$

En el caso en que una red equivalente apropiada que tenga un inversor de impedancia o admitancia cargado en ambos puertos con redes resonantes de un puerto se pueda combinar con el par de resonadores acoplados con frecuencias resonantes iguales, el coeficiente de acoplamiento se define mediante la fórmula ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$ (2)

para resonadores de tipo serie y por la fórmula

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$ (3)

para resonadores de tipo paralelo. Aquí se encuentran los parámetros del inversor de impedancia y del inversor de admitancia, los parámetros de la pendiente de reactancia de la primera y la segunda red resonante de tipo serie a la frecuencia resonante y los parámetros de la pendiente de susceptancia de la primera y la segunda red resonante de tipo paralelo. ${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$ ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f_{0},}$ ${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Cuando los resonadores son circuitos LC resonantes, el coeficiente de acoplamiento de acuerdo con (2) y (3) toma el valor

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$ (4)

para los circuitos con acoplamiento inductivo y el valor

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (5)

Para los circuitos con acoplamiento capacitivo , se obtienen las siguientes fórmulas: inductancia y capacitancia del primer circuito, inductancia y capacitancia del segundo circuito, inductancia mutua y capacitancia mutua. Las fórmulas (4) y (5) se conocen desde hace mucho tiempo en la teoría de redes eléctricas . Representan los valores de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo de los circuitos LC resonantes acoplados. ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$

Coeficiente de acoplamiento considerado como una constante que tiene un signo

El refinamiento de la fórmula aproximada (1) se cumplió en. ^[3] La fórmula exacta tiene la forma

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$ (6)

Las fórmulas (4) y (5) se utilizaron para derivar esta expresión. Ahora la fórmula (6) es universalmente reconocida. Se da en la monografía muy citada de JS. Hong. ^[4] Se ve que el coeficiente de acoplamiento tiene un valor negativo si ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

De acuerdo con la nueva definición (6), el valor del coeficiente de acoplamiento inductivo de los circuitos LC resonantes se expresa mediante la fórmula (4) como antes. Tiene un valor positivo cuando y un valor negativo cuando ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle L_{m}>0}$ ${\displaystyle L_{m}<0.}$

Mientras que el valor del coeficiente de acoplamiento capacitivo de los circuitos LC resonantes es siempre negativo. De acuerdo con (6), la fórmula (5) para el coeficiente de acoplamiento capacitivo de los circuitos resonantes adopta una forma diferente ${\displaystyle k_{C}}$

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (7)

El acoplamiento entre resonadores electromagnéticos puede realizarse tanto por campo magnético como eléctrico. El acoplamiento por campo magnético se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento inductivo y el acoplamiento por campo eléctrico se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento capacitivo. Por lo general, los valores absolutos de y decaen monótonamente cuando aumenta la distancia entre los resonadores. Sus tasas de decaimiento pueden ser diferentes. Sin embargo, el valor absoluto de su suma puede decaer en todo el rango de distancias y crecer en algún rango de distancias. ^[5] ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}.}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$

La suma de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo se realiza mediante la fórmula ^[3]

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}$ (8)

Esta fórmula se deriva de la definición (6) y de las fórmulas (4) y (7).

Tenga en cuenta que el signo del coeficiente de acoplamiento en sí no tiene importancia. La respuesta de frecuencia del filtro no cambiará si se alternan simultáneamente los signos de todos los coeficientes de acoplamiento. Sin embargo, el signo es importante durante la comparación de dos coeficientes de acoplamiento y, especialmente, durante la suma de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo. ${\displaystyle k}$

Coeficiente de acoplamiento considerado como función de la frecuencia de oscilación forzada

Dos resonadores acoplados pueden interactuar no solo en las frecuencias de resonancia. Esto se sustenta en la capacidad de transferir energía de oscilaciones forzadas de un resonador al otro. Por lo tanto, sería más preciso caracterizar la interacción de los resonadores mediante una función continua de la frecuencia de oscilación forzada en lugar de un conjunto de constantes donde es el número de orden de la resonancia. ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Es obvio que la función debe cumplir la condición ${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$ (9)

Además, la función debe volverse cero en aquellas frecuencias donde la transmisión de potencia de alta frecuencia de un resonador a otro está ausente, es decir, debe cumplir la segunda condición. ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ (10)

El cero de transmisión surge particularmente en circuitos resonantes con acoplamiento inductivo-capacitivo mixto cuando Su frecuencia se expresa mediante la fórmula ^[6] ${\displaystyle L_{m}>0.}$ ${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$. (11)

La definición de la función que generaliza la fórmula (6) y cumple las condiciones (9) y (10) se estableció en el enfoque basado en la energía en ^[6] . Esta función se expresa mediante la fórmula (8) a través de coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo dependientes de la frecuencia y se define mediante fórmulas ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{L}(f)}$ ${\displaystyle k_{C}(f)}$

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ (12)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ (13)

Aquí se indica la energía del campo electromagnético de alta frecuencia almacenada por ambos resonadores. La barra superior indica el componente estático de la energía de alta frecuencia y el punto indica la amplitud del componente oscilante de la energía de alta frecuencia. El subíndice indica la parte magnética de la energía de alta frecuencia y el subíndice indica la parte eléctrica de la energía de alta frecuencia. Los subíndices 11, 12 y 22 indican partes de la energía almacenada que son proporcionales a y donde es la amplitud compleja del voltaje de alta frecuencia en el primer puerto del resonador y es la amplitud compleja del voltaje en el segundo puerto del resonador. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$ ${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

Las funciones explícitas de los acoplamientos inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia para un par de circuitos resonantes acoplados obtenidos de (12) y (13) tienen formas ^[6] (14) ${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$ (15)

donde son las frecuencias resonantes del primer y segundo circuito perturbadas por los acoplamientos. Se ve que los valores de estas funciones en coinciden con las constantes y definidas por las fórmulas (14) y (15). Además, la función calculada por las fórmulas (8), (14) y (15) se vuelve cero en la definida por la fórmula (11). ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$ ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

Coeficientes de acoplamiento en la teoría de filtros

Filtros de paso de banda con topología de acoplamiento en línea

La teoría de los filtros de paso de banda de banda estrecha de microondas que tienen una respuesta de frecuencia de Chebyshev se establece en la monografía. ^[2] En estos filtros, las frecuencias de resonancia de todos los resonadores están sintonizadas con la frecuencia central de la banda de paso. Cada resonador está acoplado con dos resonadores vecinos como máximo. Cada uno de los dos resonadores de borde está acoplado con un resonador vecino y uno de los dos puertos de filtro. Esta topología de acoplamientos de resonadores se denomina en línea. Solo hay una ruta de transmisión de energía de microondas desde el puerto de entrada al puerto de salida en filtros con topología de acoplamiento en línea. ${\displaystyle f_{0}.}$

^{En [2]} se proporciona la derivación de fórmulas aproximadas para los valores de los coeficientes de acoplamiento de los resonadores vecinos en filtros con topología de acoplamiento en línea que cumplen con la respuesta de frecuencia de filtro especificada. Aquí y son los números de orden de los resonadores acoplados en el filtro. Las fórmulas se derivaron utilizando filtros prototipo de paso bajo , así como las fórmulas (2) y (3). La respuesta de frecuencia de los filtros prototipo de paso bajo se caracteriza por la función de Chebyshev de primer tipo. Las fórmulas se publicaron por primera vez en ^[7] Tienen una forma ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$ (16)

donde son los valores de los elementos prototipo normalizados, es el orden de la función de Chebyshev que es igual al número de resonadores, son las frecuencias del borde de la banda. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Los valores de los elementos prototipo para una banda de paso especificada del filtro se calculan mediante fórmulas ${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$ (17)

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$Si es par, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$si es impar. ${\displaystyle n}$

Aquí se utilizaron las siguientes notaciones

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$ (18)

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

donde es la ondulación de banda de paso requerida en dB. ${\displaystyle \Delta L}$

Las fórmulas (16) son aproximadas no solo porque se utilizaron las definiciones aproximadas (2) y (3) para los coeficientes de acoplamiento. Las expresiones exactas para los coeficientes de acoplamiento en el filtro prototipo se obtuvieron en ^[8] . Sin embargo, tanto las fórmulas anteriores como las refinadas siguen siendo aproximadas en el diseño de filtros prácticos. La precisión depende tanto de la estructura del filtro como de la estructura del resonador. La precisión mejora cuando se estrecha el ancho de banda fraccionario.

La inexactitud de las fórmulas (16) y su versión refinada se debe a la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento, que pueden variar en gran medida para diferentes estructuras de resonadores y filtros. ^[9] En otras palabras, los valores óptimos de los coeficientes de acoplamiento en frecuencia dependen tanto de las especificaciones de la banda de paso requerida como de los valores de las derivadas. Esto significa que los valores exactos de los coeficientes que garantizan la banda de paso requerida no se pueden conocer de antemano. Solo se pueden establecer después de la optimización del filtro. Por lo tanto, las fórmulas (16) se pueden utilizar para determinar los valores iniciales de los coeficientes de acoplamiento antes de la optimización del filtro. ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Las fórmulas aproximadas (16) permiten también determinar una serie de regularidades universales relativas a los filtros con topología de acoplamiento en línea. Por ejemplo, la ampliación de la banda de paso del filtro de corriente requiere un incremento aproximadamente proporcional de todos los coeficientes de acoplamiento. Los coeficientes son simétricos con respecto al resonador central o al par central de resonadores incluso en filtros que tienen impedancias características desiguales de líneas de transmisión en los puertos de entrada y salida. El valor del coeficiente disminuye monótonamente al pasar de los pares externos de resonadores al par central. ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Los filtros de microondas reales con topología de acoplamiento en línea, a diferencia de sus prototipos, pueden tener ceros de transmisión en las bandas de rechazo. ^[10] Los ceros de transmisión mejoran considerablemente la selectividad del filtro. Una de las razones por las que surgen los ceros es la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento para uno o más pares de resonadores que se expresan en su desaparición en frecuencias de ceros de transmisión. ^[11] ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Filtros de paso de banda con acoplamientos cruzados

Para generar ceros de transmisión en las bandas de rechazo con el fin de mejorar la selectividad del filtro, a menudo se realizan en los filtros una serie de acoplamientos complementarios además de los acoplamientos más cercanos. Se denominan acoplamientos cruzados. Estos acoplamientos dan lugar a la formación de varias trayectorias de onda desde el puerto de entrada hasta el puerto de salida. Las amplitudes de las ondas transmitidas a través de diferentes trayectorias pueden compensarse a sí mismas en algunas frecuencias separadas mientras se suman en el puerto de salida. Tal compensación da como resultado ceros de transmisión.

En filtros con acoplamientos cruzados, es conveniente caracterizar todos los acoplamientos de filtro como un todo usando una matriz de acoplamiento de dimensión ,. ^{[4] [12]} Es simétrica. Cada uno de sus elementos fuera de la diagonal es el coeficiente de acoplamiento de los resonadores i y j . Cada elemento diagonal es la susceptancia normalizada del resonador i . Todos los elementos diagonales en un filtro sintonizado son iguales a cero porque una susceptancia se desvanece en la frecuencia de resonancia. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle k_{ij}.}$ ${\displaystyle M_{ii}}$ ${\displaystyle M_{ii}}$

Un mérito importante de la matriz es el hecho de que permite calcular directamente la respuesta de frecuencia de la red equivalente que tiene los circuitos resonantes acoplados inductivamente. ^{[4] [12]} Por lo tanto, es conveniente utilizar esta matriz al diseñar los filtros acoplados cruzados. Las matrices de acoplamiento , en particular, se utilizan como modelos gruesos de filtros. ^[13] La utilización de un modelo grueso permite acelerar la optimización del filtro muchas veces debido a que el cálculo de la respuesta de frecuencia para el modelo grueso no consume tiempo de CPU con respecto al cálculo para el filtro real. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Coeficiente de acoplamiento en función de los campos vectoriales

Debido a que el coeficiente de acoplamiento es una función tanto de la inductancia mutua como de la capacitancia, también se puede expresar en términos de los campos vectoriales y . Hong propuso que el coeficiente de acoplamiento es la suma de las integrales de superposición normalizadas ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},}$ (19)

dónde

${\displaystyle \kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}}$(20)

y

${\displaystyle \kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}.}$(21)

Por el contrario, basándose en un formalismo de modo acoplado, Awai y Zhang derivaron expresiones para las cuales está a favor de usar el signo negativo, es decir, ^{[16] [17]} ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.}$ (22)

Las fórmulas (19) y (22) son aproximadas. Coinciden exactamente con la fórmula (8) solo en caso de un acoplamiento débil. Las fórmulas (20) y (21), a diferencia de las fórmulas (12) y (13), también son aproximadas porque no describen una dispersión de frecuencia que a menudo puede manifestarse en forma de ceros de transmisión en la respuesta de frecuencia de un filtro de paso de banda de múltiples resonadores.

Utilizando la ecuación de movimiento de Lagrange, se demostró que la interacción entre dos resonadores de anillos partidos, que forman un metadímero, depende de la diferencia entre los dos términos. En este caso, la energía acoplada se expresó en términos de la carga superficial y las densidades de corriente. ^{[18] [19] [20]}

Recientemente, con base en la Teoría de Modos Acoplados a la Energía (ECMT), ^[21] un formalismo de modos acoplados en forma de un problema de valor propio, se demostró que el coeficiente de acoplamiento es de hecho la diferencia entre los componentes magnéticos y eléctricos y . ^[22] Usando el teorema de Poynting en su forma microscópica, se demostró que se puede expresar en términos de la energía de interacción entre los modos de los resonadores. ${\displaystyle \kappa _{M}}$ ${\displaystyle \kappa _{E}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Referencias

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Enlaces externos

• Tyurnev, VV (2010) "Coeficientes de acoplamiento de resonadores en la teoría de filtros de microondas", Progress In Electromagnetics Research B, Vol. 21, P. 47–67.