La ruptura de hilos de fluido es el proceso por el cual una sola masa de fluido se rompe en varias masas de fluido más pequeñas. El proceso se caracteriza por el alargamiento de la masa de fluido formando regiones delgadas, similares a hilos, entre nódulos de fluido más grandes. Las regiones similares a hilos continúan adelgazándose hasta que se rompen, formando gotitas individuales de fluido.
La ruptura de un hilo se produce cuando dos fluidos o un fluido en el vacío forman una superficie libre con energía superficial . Si hay más área superficial que la mínima requerida para contener el volumen del fluido, el sistema tiene un exceso de energía superficial . Un sistema que no se encuentra en el estado de energía mínima intentará reorganizarse para moverse hacia el estado de energía más bajo, lo que lleva a la ruptura del fluido en masas más pequeñas para minimizar la energía superficial del sistema al reducir el área superficial. El resultado exacto del proceso de ruptura de un hilo depende de la tensión superficial , la viscosidad , la densidad y el diámetro del hilo que se está rompiendo.
El estudio de la formación de gotas tiene una larga historia, que se remonta al trabajo de Leonardo da Vinci, quien escribió: [1]
"Cómo el agua tiene tenacidad en sí misma y cohesión entre sus partículas. […] Esto se ve en el proceso de una gota que se desprende del resto, estirándose este resto tanto como puede por el peso de la gota que lo extiende; y después de que la gota se ha separado de esta masa, la masa vuelve hacia arriba con un movimiento contrario a la naturaleza de las cosas pesadas".
De este modo, atribuyó correctamente la caída de las gotas a la gravedad y el mecanismo que impulsa la ruptura de los hilos a la cohesión de las moléculas de agua.
El primer análisis correcto de la rotura de un hilo de fluido fue determinado cualitativamente por Thomas Young y matemáticamente por Pierre-Simon Laplace entre 1804 y 1805. [2] [3] Ellos atribuyeron correctamente el impulsor de la rotura del hilo a las propiedades de tensión superficial . Además, también dedujeron la importancia de la curvatura media en la creación de exceso de presión en el hilo de fluido. A través de su análisis, demostraron que la tensión superficial puede comportarse de dos maneras: un mecanismo elástico que puede soportar una gota colgante y un mecanismo de presión debido a la presión capilar que promueve la rotura del hilo.
En la década de 1820, el físico e ingeniero hidráulico italiano Giorgio Bidone estudió la deformación de los chorros de agua que salían de orificios de diversas formas. [4] Félix Savart siguió en 1833 con un trabajo experimental, utilizando la técnica estroboscópica para medir cuantitativamente la ruptura del hilo. [5] Observó que la ruptura es un proceso espontáneo, que ocurre sin estímulos externos. Este trabajo le permitió determinar que las gotas se producen a partir de un chorro que fluye desde un tanque a una velocidad distinta inversamente proporcional al radio de la boquilla y proporcional a la presión en el tanque. Estas observaciones facilitaron el trabajo de Joseph Plateau que estableció la relación entre la ruptura del chorro y la energía superficial . [6] Plateau pudo determinar la longitud de onda de perturbación más inestable en el hilo de fluido, que luego fue revisada por Lord Rayleigh para tener en cuenta la dinámica del chorro.
A medida que la perturbación de la superficie se hace grande, se debe aplicar la teoría no lineal. El comportamiento de los chorros con grandes perturbaciones fue examinado experimentalmente por Magnus y Lenard . [7] [8] Sus experimentos ayudaron a caracterizar las gotas satélite, gotas que se producen además de la gran gota principal, mediante la introducción de la fotografía de alta velocidad. La fotografía de alta velocidad es ahora el método estándar para analizar experimentalmente la ruptura de hilos.
Con la llegada de un mayor poder computacional, las simulaciones numéricas han comenzado a reemplazar los esfuerzos experimentales como el principal medio para comprender la ruptura de fluidos. Sin embargo, sigue siendo difícil rastrear con precisión la superficie libre de muchos líquidos debido a su comportamiento complejo. El mayor éxito se ha producido con fluidos de baja y alta viscosidad, donde se puede emplear el método de la integral de contorno, ya que se conoce la función de Green para ambos casos. Dommermuth y Yue caracterizaron el flujo irrotacional no viscoso mediante este método, al igual que Schulkes. [9] [10] Youngren y Acrivos consideraron el comportamiento de una burbuja en un líquido de alta viscosidad. [11] Stone y Leal ampliaron este trabajo inicial para considerar la dinámica de gotas individuales. [12] Para fluidos de viscosidad media, se requieren simulaciones completas utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes con métodos que determinen la superficie libre, como el nivel establecido y el volumen del fluido. El primer trabajo con simulaciones completas de Navier-Stokes fue realizado por Fromm, que se centró en la tecnología de inyección de tinta . [13] Estas simulaciones siguen siendo un área activa de investigación.
El proceso de ruptura de un hilo o chorro de fluido comienza con el desarrollo de pequeñas perturbaciones en la superficie libre del fluido. Esto se conoce como la teoría lineal de ruptura de hilos de fluido. Estas perturbaciones siempre están presentes y pueden ser generadas por numerosas fuentes, incluidas las vibraciones del contenedor de fluido o la falta de uniformidad en la tensión de corte en la superficie libre. En general, estas perturbaciones toman una forma arbitraria y, por lo tanto, son difíciles de considerar rigurosamente. Por lo tanto, es útil realizar una transformada de Fourier de las perturbaciones para descomponer las perturbaciones arbitrarias en perturbaciones de varias longitudes de onda individuales en la superficie del hilo. Al hacerlo, esto permite determinar qué longitudes de onda de la perturbación aumentarán y cuáles decaerán con el tiempo. [14]
El crecimiento y la disminución de las longitudes de onda se pueden determinar examinando el cambio de presión que una longitud de onda de perturbación impone en el interior del hilo de fluido. Los cambios en la presión interna del hilo son inducidos por la presión capilar a medida que la superficie libre del hilo se deforma. La presión capilar es una función de la curvatura media de la interfaz en una ubicación dada en la superficie, lo que significa que la presión depende de los dos radios de curvatura que dan la forma de la superficie. Dentro del área adelgazada de un hilo de fluido que sufre una ruptura, el primer radio de curvatura es menor que el radio de curvatura en el área engrosada, lo que genera un gradiente de presión que tendería a forzar el líquido desde las áreas adelgazadas a las engrosadas. Sin embargo, el segundo radio de curvatura sigue siendo importante para el proceso de ruptura. Para algunas longitudes de onda de perturbación, el efecto del segundo radio de curvatura puede superar el efecto de presión del primer radio de curvatura, induciendo una presión mayor en las regiones engrosadas que en las regiones adelgazadas. Esto empujaría el fluido de regreso hacia las regiones adelgazadas y tendería a devolver el hilo a su forma original, inalterada. Sin embargo, para otras longitudes de onda de perturbación, la presión capilar inducida por el segundo radio de curvatura reforzará la del primer radio de curvatura. Esto impulsará el fluido desde las regiones adelgazadas a las engrosadas y promoverá aún más la ruptura de las hebras.
Por lo tanto, la longitud de onda de la perturbación es el parámetro crítico para determinar si un hilo de fluido dado se romperá en masas más pequeñas de fluido. Un examen matemático riguroso de las longitudes de onda de la perturbación puede conducir a una relación que muestra qué longitudes de onda son estables para un hilo dado, así como qué longitudes de onda de la perturbación crecerán más rápidamente. El tamaño de las masas de fluido resultantes de la ruptura de un hilo de fluido se puede aproximar mediante las longitudes de onda de la perturbación que crecen más rápidamente.
Si bien la teoría lineal es útil para considerar el crecimiento de pequeñas perturbaciones en la superficie libre, cuando las perturbaciones crecen hasta tener una amplitud significativa, los efectos no lineales comienzan a dominar el comportamiento de ruptura. El comportamiento no lineal del hilo rige su ruptura final y, en última instancia, determina la forma y el número finales de las masas de fluido resultantes.
La no linealidad se captura mediante el uso de la autosimilitud . La autosimilitud supone que el comportamiento del hilo de fluido a medida que el radio se acerca a cero es el mismo que el comportamiento del hilo de fluido cuando tiene un radio finito. La comprensión detallada del comportamiento no lineal del hilo requiere el uso de expansiones asintóticas para generar el comportamiento de escalado adecuado. Se han encontrado numerosas soluciones para el comportamiento no lineal de los hilos de fluido en función de las fuerzas que son relevantes en circunstancias particulares. [15] [16] [17]
La forma en que un hilo o chorro de fluido sufre una ruptura está determinada por varios parámetros, entre los que se encuentran el número de Reynolds , el número de Weber , el número de Ohnesorge y la longitud de onda de perturbación . Si bien estos números son comunes en la mecánica de fluidos, los parámetros seleccionados como escalas deben ser apropiados para la ruptura del hilo. La escala de longitud seleccionada con mayor frecuencia es el radio del hilo de fluido, mientras que la velocidad se considera con mayor frecuencia como la velocidad del movimiento del fluido en masa. Sin embargo, estas escalas pueden cambiar según las características del problema considerado.
El número de Reynolds es la relación entre la inercia y los efectos viscosos dentro de la rosca. Para números de Reynolds altos, los efectos del movimiento de la rosca son mucho mayores que la disipación viscosa. La viscosidad solo tiene un efecto de amortiguación mínimo en la rosca. Para números de Reynolds pequeños, la disipación viscosa es grande y cualquier perturbación se amortigua rápidamente en la rosca.
El número de Weber es la relación entre los efectos de la inercia y la tensión superficial dentro del hilo. Cuando el número de Weber es grande, la inercia del hilo es grande, lo que resiste la tendencia de la tensión superficial a aplanar las superficies dobladas. Para números de Weber pequeños, los cambios en la presión capilar debido a las perturbaciones de la superficie son grandes y la tensión superficial domina el comportamiento del hilo.
El número de Ohnesorge es la relación entre los efectos de la tensión viscosa y superficial dentro del hilo. Como elimina los efectos de la inercia y la necesidad de una escala de velocidad, a menudo resulta más conveniente expresar las relaciones de escala en términos del número de Ohnesorge en lugar de los números de Reynolds y Weber individualmente.
La longitud de onda de la perturbación es la longitud característica de la perturbación en la superficie del chorro, suponiendo que cualquier perturbación arbitraria puede descomponerse mediante una transformada de Fourier en sus componentes constitutivos. La longitud de onda de la perturbación es fundamental para determinar si una perturbación particular crecerá o decaerá con el tiempo.
Plateau fue el primero en deducir la estabilidad lineal de líquidos de baja viscosidad en 1873. [14] Sin embargo, su solución se conoce como inestabilidad de Rayleigh-Plateau debido a que Lord Rayleigh amplió la teoría para incluir fluidos con viscosidad. La inestabilidad de Rayleigh-Plateau se utiliza a menudo como un caso introductorio a la estabilidad hidrodinámica, así como al análisis de perturbaciones.
Plateau consideró la estabilidad de un hilo de fluido cuando solo estaban presentes los efectos de la inercia y la tensión superficial. Al descomponer una perturbación arbitraria en la superficie libre en sus armónicos/longitudes de onda constitutivos, pudo derivar la condición para la estabilidad del chorro en términos de la perturbación:
donde ω es la tasa de crecimiento de la perturbación, σ es la tensión superficial de los fluidos, k es el número de onda de la perturbación, ρ es la densidad del fluido, a es el radio inicial del fluido no perturbado e I es la función de Bessel modificada de primera clase. Al calcular la tasa de crecimiento como una función del número de onda, se puede determinar que la longitud de onda de perturbación de crecimiento más rápido ocurre en:
La longitud de onda de máxima inestabilidad aumenta a medida que aumenta el radio del hilo de fluido. Es importante señalar que los modos inestables solo son posibles cuando:
Reynolds y más tarde Tomotika ampliaron el trabajo de Plateau para considerar la estabilidad lineal de los hilos viscosos. Rayleigh resolvió la estabilidad de un hilo viscoso de viscosidad sin la presencia de un fluido externo. [18] Tomokita resolvió la estabilidad de un hilo de fluido en presencia de un fluido externo con su propia viscosidad . [19] Consideró tres casos donde la viscosidad del hilo de fluido era mucho mayor que el entorno externo, la viscosidad del entorno externo era mucho mayor que el hilo de fluido y el caso general donde los líquidos son de viscosidad arbitraria.
En el caso límite en el que el hilo de fluido es mucho más viscoso que el ambiente externo, la viscosidad del ambiente externo disminuye por completo respecto de la tasa de crecimiento. Por lo tanto, la tasa de crecimiento se convierte únicamente en una función del radio inicial del hilo, la longitud de onda de perturbación, la tensión superficial del hilo y la viscosidad del hilo.
Al representar gráficamente esto, se descubre que las longitudes de onda más largas son las más inestables. Es importante señalar que la viscosidad del hilo de fluido no influye en qué longitudes de onda serán estables. La viscosidad solo actúa para disminuir la velocidad con la que una perturbación dada crecerá o decaerá con el tiempo.
Ejemplos de cuándo se aplicaría este caso son cuando casi cualquier líquido sufre una ruptura de hilo/chorro en un entorno de aire.
En el caso límite en el que el entorno externo del hilo fluido es mucho más viscoso que el hilo mismo, la viscosidad del hilo fluido disminuye por completo respecto de la tasa de crecimiento de la perturbación. De este modo, la tasa de crecimiento se convierte únicamente en una función del radio inicial del hilo, la longitud de onda de la perturbación, la tensión superficial del hilo, la viscosidad del entorno externo y las funciones de Bessel de segundo orden de segunda clase.
Si uno tuviera que graficar la tasa de crecimiento como una función de la longitud de onda de perturbación, encontraría que las longitudes de onda más inestables nuevamente ocurren en las longitudes de onda más largas y que la viscosidad del ambiente externo solo actuaría para disminuir la rapidez con la que una perturbación crecería o decaería en el tiempo.
Ejemplos de cuándo se aplicaría este caso son cuando las burbujas de gas entran en un líquido o cuando el agua cae en la miel.
El caso general de dos fluidos viscosos es mucho más difícil de resolver directamente. Tomotika expresó su solución de la siguiente manera:
donde se definió como:
Los coeficientes se expresan más fácilmente como determinantes de las siguientes matrices:
La solución resultante sigue siendo una función tanto de la viscosidad del hilo como de la del entorno externo, así como de la longitud de onda de la perturbación. La combinación más inestable de viscosidades y perturbación se produce cuando con .
Para la mayoría de las aplicaciones, no es necesario utilizar el caso general, ya que los dos fluidos en cuestión tienen viscosidades significativamente diferentes, lo que permite el uso de uno de los casos límite. Sin embargo, algunos casos, como la mezcla de aceites o aceites y agua, pueden requerir el uso del caso general.
Las gotas satélite, también conocidas como gotas secundarias, son las gotas que se producen durante el proceso de ruptura del hilo además de la gota principal grande. Las gotas se producen cuando el filamento del que cuelga la gota principal de la masa de fluido más grande se desprende de la masa de fluido. El fluido contenido en el filamento puede permanecer como una sola masa o romperse debido a las perturbaciones de retroceso que le impone la separación de la gota principal. Si bien la producción de gotas satélite se puede predecir en función de las propiedades del fluido, no se puede predecir su ubicación y volumen precisos. [20] [21]
En general, las gotitas secundarias son un fenómeno no deseado, especialmente en aplicaciones donde la deposición precisa de gotitas es importante. La producción de gotitas satélite está regida por la dinámica no lineal del problema cerca de las etapas finales de la ruptura del hilo.
Existen numerosos ejemplos de ruptura de hilos de fluidos en la vida diaria. Es uno de los fenómenos de mecánica de fluidos más comunes que se experimentan y, por lo tanto, la mayoría de las personas no le prestan demasiada atención al proceso.
El goteo de agua es algo cotidiano. A medida que el agua sale del grifo, el filamento adherido al grifo comienza a estrecharse hasta el punto en que la gota principal se desprende de la superficie. [22] El filamento no puede retraerse lo suficientemente rápido hacia el grifo para evitar romperse y, por lo tanto, se desintegra en varias gotas satélite pequeñas. [22]
Las burbujas de aire son otro fenómeno de ruptura común. Cuando el aire entra en un tanque de líquido, como una pecera, el hilo se estrecha nuevamente en la base y produce una burbuja. Al soplar burbujas con una pajita en un vaso, se produce un comportamiento muy similar.
El experimento de la caída de brea es un famoso experimento de desintegración de fluidos que utiliza brea de alquitrán de alta viscosidad. La velocidad de desintegración se reduce hasta tal punto que solo han caído 11 gotas desde 1927.
La miel es lo suficientemente viscosa como para que las perturbaciones superficiales que provocan la ruptura se absorban casi por completo en los filamentos de miel. Esto da como resultado la producción de filamentos largos de miel en lugar de gotitas individuales.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0 }(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{ 1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka) \end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}( ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}} I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka )\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)& -kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka) &I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1} (ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e39244962130278e1b783493a03c7abc5d7fab5)
