Inferencia fiducial

Uno de varios tipos diferentes de inferencia estadística.

La inferencia fiducial es uno de los distintos tipos de inferencia estadística . Se trata de reglas, destinadas a una aplicación general, mediante las cuales se pueden extraer conclusiones a partir de muestras de datos. En la práctica estadística moderna, los intentos de trabajar con inferencia fiducial han pasado de moda en favor de la inferencia frecuentista , la inferencia bayesiana y la teoría de la decisión . Sin embargo, la inferencia fiducial es importante en la historia de la estadística, ya que su desarrollo condujo al desarrollo paralelo de conceptos y herramientas en la estadística teórica que se utilizan ampliamente. Algunas investigaciones actuales en metodología estadística están vinculadas explícitamente a la inferencia fiducial o están estrechamente relacionadas con ella.

Fondo

El enfoque general de la inferencia fiducial fue propuesto por Ronald Fisher . ^{[1] [2]} Aquí "fiducial" viene del latín para fe. La inferencia fiducial puede interpretarse como un intento de realizar una probabilidad inversa sin recurrir a distribuciones de probabilidad previas . ^[3] La inferencia fiducial atrajo rápidamente la controversia y nunca fue ampliamente aceptada. ^[4] De hecho, pronto se publicaron contraejemplos a las afirmaciones de Fisher sobre la inferencia fiducial. ^{[ cita requerida ]} Estos contraejemplos ponen en duda la coherencia de la "inferencia fiducial" como un sistema de inferencia estadística o lógica inductiva . Otros estudios mostraron que, cuando se dice que los pasos de la inferencia fiducial conducen a "probabilidades fiduciales" (o "distribuciones fiduciales"), estas probabilidades carecen de la propiedad de aditividad y, por lo tanto, no pueden constituir una medida de probabilidad . ^{[ cita requerida ]}

El concepto de inferencia fiducial se puede resumir comparando su tratamiento del problema de la estimación de intervalos en relación con otros modos de inferencia estadística.

• Un intervalo de confianza , en la inferencia frecuentista , con probabilidad de cobertura γ tiene la interpretación de que entre todos los intervalos de confianza calculados por el mismo método, una proporción γ contendrá el valor verdadero que necesita ser estimado. Esto tiene una interpretación de muestreo repetido (o frecuentista ), o es la probabilidad de que un intervalo calculado a partir de datos aún por muestrear cubra el valor verdadero. Sin embargo, en cualquier caso, la probabilidad en cuestión no es la probabilidad de que el valor verdadero esté en el intervalo particular que se ha calculado ya que en esa etapa tanto el valor verdadero como el intervalo calculado son fijos y no son aleatorios.
• Los intervalos creíbles , en la inferencia bayesiana , permiten dar una probabilidad para el evento de que un intervalo, una vez calculado, incluya el valor verdadero, ya que se parte de la base de que una distribución de probabilidad puede asociarse con el estado del conocimiento acerca del valor verdadero, tanto antes como después de que se haya obtenido la muestra de datos.

Fisher diseñó el método fiducial para resolver los problemas percibidos con el enfoque bayesiano, en un momento en que el enfoque frecuentista aún no se había desarrollado por completo. Dichos problemas estaban relacionados con la necesidad de asignar una distribución previa a los valores desconocidos. El objetivo era tener un procedimiento, como el método bayesiano, cuyos resultados aún pudieran recibir una interpretación de probabilidad inversa basada en los datos reales observados. El método procede intentando derivar una "distribución fiducial", que es una medida del grado de confianza que se puede depositar en cualquier valor dado del parámetro desconocido y es fiel a los datos en el sentido de que el método utiliza toda la información disponible.

Lamentablemente, Fisher no dio una definición general del método fiducial y negó que el método pudiera aplicarse siempre. ^{[ cita requerida ]} Sus únicos ejemplos fueron para un solo parámetro; se han dado diferentes generalizaciones cuando hay varios parámetros. Quenouille (1958) ofrece una presentación relativamente completa del enfoque fiducial para la inferencia, mientras que Williams (1959) describe la aplicación del análisis fiducial al problema de calibración (también conocido como "regresión inversa") en el análisis de regresión . ^[5] Kendall y Stuart (1973) ofrecen una discusión más detallada de la inferencia fiducial. ^[6]

La distribución fiducial

Fisher requirió la existencia de una estadística suficiente para que se aplique el método fiducial. Supongamos que hay una sola estadística suficiente para un solo parámetro. Es decir, supongamos que la distribución condicional de los datos dada la estadística no depende del valor del parámetro. Por ejemplo, supongamos que n observaciones independientes están distribuidas uniformemente en el intervalo . El máximo, X , de las n observaciones es una estadística suficiente para  ω . Si solo se registra X y se olvidan los valores de las observaciones restantes, es igualmente probable que estas observaciones restantes hayan tenido cualquier valor en el intervalo . Esta afirmación no depende del valor de  ω . Entonces X contiene toda la información disponible sobre ω y las otras observaciones podrían no haber proporcionado más información. ${\displaystyle [0,\omega ]}$ ${\displaystyle [0,X]}$

La función de distribución acumulativa de X es

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=P\left({\text{all observations}}\leq x\right)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}.}$

Se pueden hacer afirmaciones de probabilidad sobre X / ω . Por ejemplo, dado α , se puede elegir  un valor de a con 0 < a  < 1 tal que

${\displaystyle P\left(X>\omega a\right)=1-a^{n}=\alpha .}$

De este modo

${\displaystyle a=(1-\alpha )^{1/n}.}$

Entonces Fisher podría decir que esta afirmación puede invertirse en la forma

${\displaystyle P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha .}$

En esta última afirmación, ω se considera ahora variable y X es fijo, mientras que antes era al revés. Esta distribución de ω es la distribución fiducial que puede utilizarse para formar intervalos fiduciales que representan grados de creencia.

El cálculo es idéntico al método fundamental para hallar un intervalo de confianza, pero la interpretación es diferente. De hecho, en los libros más antiguos se utilizan los términos intervalo de confianza e intervalo fiducial de manera intercambiable. ^{[ cita requerida ]} Nótese que la distribución fiducial se define de manera única cuando existe una única estadística suficiente.

El método pivotal se basa en una variable aleatoria que es una función tanto de las observaciones como de los parámetros, pero cuya distribución no depende del parámetro. Estas variables aleatorias se denominan magnitudes pivotales . Al utilizarlas, se pueden realizar afirmaciones de probabilidad sobre las observaciones y los parámetros en las que las probabilidades no dependen de los parámetros y estas se pueden invertir resolviendo los parámetros de la misma manera que en el ejemplo anterior. Sin embargo, esto solo es equivalente al método fiducial si la magnitud pivotal se define de forma única en función de una estadística suficiente.

Un intervalo fiducial podría tomarse simplemente como un nombre diferente para un intervalo de confianza y darle la interpretación fiducial. Pero la definición podría no ser única. ^{[ cita requerida ]} Fisher habría negado que esta interpretación sea correcta: para él, la distribución fiducial tenía que definirse de manera única y tenía que utilizar toda la información de la muestra. ^{[ cita requerida ]}

Estado del enfoque

Fisher admitió que la "inferencia fiducial" tenía problemas. Fisher escribió a George A. Barnard que "no tenía claro" un problema de la inferencia fiducial, ^[7] y, también escribiendo a Barnard, Fisher se quejó de que su teoría parecía tener sólo "un enfoque asintótico de la inteligibilidad". ^[7] Más tarde, Fisher confesó que "no entiendo todavía lo que hace la probabilidad fiducial. Tendremos que vivir con ella durante mucho tiempo antes de saber lo que está haciendo por nosotros. Pero no debería ignorarse sólo porque no tenemos todavía una interpretación clara". ^[7]

Dennis Lindley ^[8] demostró que la probabilidad fiducial carecía de aditividad y, por lo tanto, no era una medida de probabilidad . Cox señala ^[9] que el mismo argumento se aplica a la denominada " distribución de confianza " asociada con los intervalos de confianza , por lo que la conclusión que se puede extraer de esto es discutible. Fisher esbozó "pruebas" de resultados utilizando la probabilidad fiducial. Cuando las conclusiones de los argumentos fiduciales de Fisher no son falsas, se ha demostrado que muchas también se deducen de la inferencia bayesiana. ^{[ cita requerida ] [6]}

En 1978, JG Pederson escribió que "el argumento fiducial ha tenido un éxito muy limitado y ahora está esencialmente muerto". ^[10] Davison escribió: "Se han hecho algunos intentos posteriores para resucitar el fiducialismo, pero ahora parece tener una gran importancia histórica, particularmente en vista de su rango restringido de aplicabilidad cuando se lo compara con modelos de interés actual". ^[11]

La inferencia fiducial aún se está estudiando y sus principios pueden ser valiosos para algunas aplicaciones científicas. ^{[12] [13]}

Referencias

1. Fisher, RA (1935). "El argumento fiducial en la inferencia estadística". Anales de eugenesia . 5 (4): 391–398. doi :10.1111/j.1469-1809.1935.tb02120.x. hdl : 2440/15222 .
2. "Argumento fiducial de RA Fisher y teorema de Bayes por Teddy Seidenfeld" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2012-04-21 . Consultado el 2015-08-25 .
3. Quenouille (1958), Capítulo 6
4. Neyman, Jerzy. "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Journal of the Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) (1956): 288–294.
5. Williams (1959, Capítulo 6)
6. Kendall, MG, Stuart, A. (1973) La teoría avanzada de las estadísticas, volumen 2: inferencia y relación, 3.ª edición , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (Capítulo 21) 
7. Zabell, SL (agosto de 1992). "RA Fisher y el argumento fiducial". Ciencia estadística . 7 (3): 369–387. doi : 10.1214/ss/1177011233 . JSTOR  2246073.(pagina 381)
8. Sharon Bertsch McGrayne (2011) La teoría que no quería morir. p. 133 ^{[ cita completa necesaria ]}
9. Cox (2006) pág. 66
10. Pederson, JG (1978). "Inferencia fiducial". Revista estadística internacional . 46 (2): 147–170. doi :10.2307/1402811. JSTOR  1402811. MR  0514060.
11. Davison, AC (2001) " Centenario de Biometrika : teoría y metodología general" Biometrika 2001 (página 12 en la republicación editada por DM Titterton y David R. Cox )
12. Hannig, J (2009). "Inferencia fiducial generalizada para regresión wavelet". Biometrika . 96 (4): 847–860. doi :10.1093/biomet/asp050. S2CID  96445115.
13. Hannig, J (2009). "Sobre la inferencia fiducial generalizada". Statistica Sinica . 19 : 491–544.

Bibliografía

• Cox, DR (2006). Principios de inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-68567-2 . 
• Fisher, RA (1956). Métodos estadísticos e inferencia científica . Nueva York: Hafner. ISBN 978-0-02-844740-7.
• Fisher, Ronald "Métodos estadísticos e inducción científica" Journal of the Royal Statistical Society, Serie B 17 (1955), 69–78. (crítica de las teorías estadísticas de Jerzy Neyman y Abraham Wald desde una perspectiva fiducial)
• Neyman, Jerzy (1956). "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B . 18 (2): 288–294. JSTOR  2983716.(respuesta a Fisher 1955, que diagnostica una falacia de "inferencia fiducial")
• Tukey, JW, ed. (1950). Contribuciones de RA Fisher a la estadística matemática . Nueva York: Wiley.
• Quenouille, MH (1958) Fundamentos del razonamiento estadístico . Griffin, Londres
• Williams, EJ (1959) Análisis de regresión , Wiley LCCN  59-11815
• Young, GA, Smith, RL (2005) Fundamentos de inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-83971-8 
• Fraser, DAS (1961). "El método fiducial y la invariancia". Biometrika . 48 (3/4): 261–80. doi :10.2307/2332749. JSTOR  2332749.
• Fraser, DAS (1961). "Sobre la inferencia fiducial". Anales de estadística matemática . 32 (3): 661–676. doi : 10.1214/aoms/1177704962 .