Filo tangente doble

En matemáticas , particularmente en topología diferencial , el fibrado doble tangente o el segundo fibrado tangente se refiere al fibrado tangente ( TTM , π _TTM , TM ) del espacio total TM del fibrado tangente ( TM , π _TM , M ) de una variedad suave M. ^[1] Una nota sobre la notación: en este artículo, denotamos los mapas de proyección por sus dominios, por ejemplo, π _TTM  : TTM → TM . Algunos autores indexan estos mapas por sus rangos, por lo que para ellos, ese mapa se escribiría π _TM .

El segundo fibrado tangente surge en el estudio de conexiones y ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, es decir, estructuras de (semi)spray en variedades suaves, y no debe confundirse con el fibrado jet de segundo orden .

Estructura del haz vectorial secundario y cambio canónico

Dado que ( TM , π _TM , M ) es un fibrado vectorial por derecho propio, su fibrado tangente tiene la estructura de fibrado vectorial secundario ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ), donde ( π _TM ) _* : TTM → TM es el avance de la proyección canónica π _TM : TM → M . A continuación denotamos

${\displaystyle \xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M}$

y aplicar el sistema de coordenadas asociado

${\displaystyle \xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})}$

en TM . Entonces la fibra de la estructura del haz vectorial secundario en X ∈ T _x M toma la forma

${\displaystyle (\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

El fibrado doble tangente es un fibrado doble vectorial .

El cambio canónico ^[2] es una involución suave j : TTM → TTM que intercambia estas estructuras de espacio vectorial en el sentido de que es un isomorfismo de fibrado vectorial entre ( TTM , π _TTM , TM ) y ( TTM ,( π _TM ) _* , TM ). En las coordenadas asociadas en TM se lee como

${\displaystyle j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.}$

El giro canónico tiene la propiedad de que para cualquier f : R ² → M ,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}}$

donde s y t son coordenadas de la base estándar de R ² . Nótese que ambas derivadas parciales son funciones de R ² a TTM .

De hecho, esta propiedad se puede utilizar para dar una definición intrínseca del cambio canónico. ^[3] De hecho, existe una inmersión p : J ² ₀ ( R ² ,M) → TTM dada por

${\displaystyle p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)}$

donde p se puede definir en el espacio de dos jets en cero porque sólo depende de f hasta orden dos en cero. Consideremos la aplicación:

${\displaystyle J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]}$

donde α( s , t )= ( t , s ). Entonces J es compatible con la proyección p e induce la inversión canónica en el cociente TTM .

Campos tensoriales canónicos en el fibrado tangente

Como para cualquier fibrado vectorial , los espacios tangentes T _ξ ( T _x M ) de las fibras T _x M del fibrado tangente ( TM , π _TM , M ) pueden identificarse con las propias fibras T _x M. Formalmente, esto se logra mediante la elevación vertical , que es un isomorfismo natural del espacio vectorial vl _ξ : T _x M → V _ξ ( T _x M ) definido como

${\displaystyle (\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).}$

La elevación vertical también puede verse como un isomorfismo natural del fibrado vectorial vl:(π _TM ) ^* TM → VTM del fibrado de retroceso de ( TM , π _TM , M ) sobre π _TM : TM → M sobre el fibrado tangente vertical

${\displaystyle VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.}$

La elevación vertical nos permite definir el campo vectorial canónico

${\displaystyle V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,}$

que es suave en el fibrado tangente de la rendija TM \0. El campo vectorial canónico también se puede definir como el generador infinitesimal de la acción del grupo de Lie.

${\displaystyle \mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .}$

A diferencia del campo vectorial canónico, que se puede definir para cualquier fibrado vectorial, el endomorfismo canónico

${\displaystyle J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM}$

es especial para el fibrado tangente. El endomorfismo canónico J satisface

${\displaystyle \operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad [JX,JY]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

y también se conoce como estructura tangente por la siguiente razón. Si ( E , p , M ) es cualquier fibrado vectorial con el campo vectorial canónico V y un campo tensorial (1,1) J que satisface las propiedades enumeradas anteriormente, con VE en lugar de VTM , entonces el fibrado vectorial ( E , p , M ) es isomorfo al fibrado tangente ( TM , π _TM , M ) de la variedad base, y J corresponde a la estructura tangente de TM en este isomorfismo.

También hay un resultado más fuerte de este tipo ^[4] que establece que si N es una variedad 2n - dimensional y si existe un campo tensorial (1,1) J en N que satisface

${\displaystyle \operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J),\qquad [JX,JY]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

entonces N es difeomorfo a un conjunto abierto del espacio total de un fibrado tangente de alguna variedad n -dimensional M , y J corresponde a la estructura tangente de TM en este difeomorfismo.

En cualquier sistema de coordenadas asociado en TM, el campo vectorial canónico y el endomorfismo canónico tienen las representaciones de coordenadas

${\displaystyle V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.}$

Estructuras (semi)pulverizadas

Una estructura Semispray en una variedad lisa M es por definición un campo vectorial liso H en TM  \0 tal que JH = V . Una definición equivalente es que j ( H )= H , donde j : TTM → TTM es la inversión canónica. Un semispray H es un spray si además, [ V , H ]= H .

Las estructuras de spray y semispray son versiones invariantes de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en M . La diferencia entre las estructuras de spray y semispray es que las curvas de solución de los sprays son invariantes en reparametrizaciones positivas ^{[ jerga ]} como conjuntos de puntos en M , mientras que las curvas de solución de los semisprays normalmente no lo son.

Derivadas covariantes no lineales en variedades suaves

La inversión canónica permite definir derivadas covariantes no lineales en variedades suaves de la siguiente manera. Sea

${\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}$

sea ​​una conexión de Ehresmann en el fibrado tangente de la rendija TM \0 y considere la aplicación

${\displaystyle D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),}$

donde Y _* : TM → TTM es el empuje hacia adelante, j : TTM → TTM es el cambio canónico y κ: T ( TM /0)→ TM /0 es la función conectora. La función D _X es una derivación en el módulo Γ ( TM ) de campos vectoriales suaves en M en el sentido de que

• ${\displaystyle D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)}$.

Cualquier aplicación de D _X con estas propiedades se denomina derivada covariante (no lineal) ^[5] en M . El término no lineal se refiere al hecho de que este tipo de derivada covariante D _X en no es necesariamente lineal con respecto a la dirección X ∈ TM /0 de la diferenciación.

Observando las representaciones locales se puede confirmar que las conexiones de Ehresmann en ( TM /0,π _{TM /0} , M ) y las derivadas covariantes no lineales en M están en correspondencia uno a uno. Además, si D _X es lineal en X , entonces la conexión de Ehresmann es lineal en la estructura del fibrado vectorial secundario y D _X coincide con su derivada covariante lineal.

Véase también

• Pulverizar (matemáticas)
• Estructura del haz de vectores secundarios
• Colector Finsler

Referencias

1. JMLee, Introducción a las variedades suaves , Springer-Verlag, 2003.
2. P. Michor. Temas de geometría diferencial, Sociedad Matemática Americana, 2008.
3. Robert J. Fisher y H. Turner Laquer, Vectores tangentes de segundo orden en geometría de Riemann, J. Korean Math. Soc. 36 (1999), n.º 5, págs. 959-1008
4. DSGoel, Estructuras casi tangentes , Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.
5. I.Bucataru, R.Miron, Geometría de Finsler-Lagrange , Editura Academiei Române, 2007.