Estructura del haz de vectores secundarios

En matemáticas , particularmente en topología diferencial , la estructura de fibrado vectorial secundaria se refiere a la estructura de fibrado vectorial natural ( TE , p _∗ , TM ) en el espacio total TE del fibrado tangente de un fibrado vectorial suave ( E , p , M ) , inducida por el empuje hacia adelante p _∗  : TE → TM de la función de proyección original p  : E → M. Esto da lugar a una estructura de fibrado vectorial doble ( TE , E , TM , M ) .

En el caso especial ( E , p , M ) = ( TM , π _TM , M ) , donde TE = TTM es el fibrado tangente doble , el fibrado vectorial secundario ( TTM , ( π _TM ) _∗ , TM ) es isomorfo al fibrado tangente ( TTM , π _TTM , TM ) de TM a través del cambio canónico .

Construcción de la estructura del haz vectorial secundario

Sea ( E , p , M ) un fibrado vectorial liso de rango N . Entonces la preimagen ( p _∗ ) ⁻¹ ( X ) ⊂ TE de cualquier vector tangente X en TM en el empuje hacia delante p _∗  : TE → TM de la proyección canónica p  : E → M es una subvariedad lisa de dimensión 2 N , y se convierte en un espacio vectorial con el empuje hacia delante

${\displaystyle +_{*}:T(E\times E)\to TE,\qquad \lambda _{*}:TE\to TE}$

de la adición original y la multiplicación escalar

${\displaystyle +:E\times E\to E,\qquad \lambda :E\to E}$

como sus operaciones de espacio vectorial. El triple ( TE , p _∗ , TM ) se convierte en un fibrado vectorial suave con estas operaciones de espacio vectorial en sus fibras.

Prueba

Sea ( U , φ ) un sistema de coordenadas local en la variedad base M con φ ( x ) = ( x ¹ , ..., x ⁿ ) y sea

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbf {R} ^{N}\\\psi \left(v^{k}e_{k}|_{x}\right):=\left(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N}\right)\end{cases}}}$

ser un sistema de coordenadas adaptado a él. Entonces ${\displaystyle W:=p^{-1}(U)\subset E}$

${\displaystyle p_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},}$

Por lo tanto, la fibra de la estructura del haz vectorial secundario en X en T _x M tiene la forma

${\displaystyle p_{*}^{-1}(X)=\left\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\ :\ v\in E_{x};Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbf {R} \right\}.}$

Ahora resulta que

${\displaystyle \chi \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)}$

da una trivialización local χ  : TW → TU × R ^{2 N} para ( TE , p _∗ , TM ) , y los empujes hacia delante de las operaciones del espacio vectorial original se leen en las coordenadas adaptadas como

${\displaystyle \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v+w}}$

y

${\displaystyle \lambda _{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{\lambda v},}$

Por lo tanto, cada fibra ( p _∗ ) ⁻¹ ( X ) ⊂ TE es un espacio vectorial y el triple ( TE , p _∗ , TM ) es un fibrado vectorial suave.

Linealidad de conexiones en fibrados vectoriales

La conexión general de Ehresmann TE = HE ⊕ VE en un fibrado vectorial ( E , p , M ) se puede caracterizar en términos del mapa conector

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X)\end{cases}}}$

donde vl _v  : E → V _v E es la sustentación vertical , y vpr _v  : T _v E → V _v E es la proyección vertical . La función

${\displaystyle {\begin{cases}\nabla :\Gamma (TM)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\\\nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)\end{cases}}}$

inducida por una conexión de Ehresmann es una derivada covariante en Γ( E ) en el sentido de que

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\nabla _{X}v\end{aligned}}}$

si y solo si la función conectora es lineal con respecto a la estructura del fibrado vectorial secundario ( TE , p _∗ , TM ) en TE . Entonces la conexión se llama lineal . Nótese que la función conectora es automáticamente lineal con respecto a la estructura del fibrado tangente ( TE , π _TE , E ) .

Véase también

• Conexión (haz vectorial)
• Filo tangente doble
• Conexión Ehresmann
• Paquete de vectores

Referencias

• P. Michor. Temas de geometría diferencial, American Mathematical Society (2008).