Paquete vectorial doble

En matemáticas , un fibrado vectorial doble es la combinación de dos estructuras de fibrados vectoriales compatibles , que contiene en particular la tangente de un fibrado vectorial y el fibrado tangente doble . ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T^{2}M}$

Definición y primeras consecuencias

Un fibrado vectorial doble consta de , donde ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)}$

1. Los haces laterales y son haces vectoriales sobre la base , ${\displaystyle E^{H}}$ ${\displaystyle E^{V}}$ ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle E}$es un fibrado vectorial en ambos lados y , ${\displaystyle E^{H}}$ ${\displaystyle E^{V}}$
3. La proyección, la adición, la multiplicación escalar y el mapa cero en E para ambas estructuras de fibrado vectorial son morfismos.

Morfismo de doble fibrado vectorial

Un morfismo de doble fibrado vectorial consta de mapas , , y tales que es un morfismo de fibrado de a , es un morfismo de fibrado de a , es un morfismo de fibrado de a y es un morfismo de a . ${\displaystyle (f_{E},f_{H},f_{V},f_{B})}$ ${\displaystyle f_{E}:E\mapsto E'}$ ${\displaystyle f_{H}:E^{H}\mapsto E^{H}{}'}$ ${\displaystyle f_{V}:E^{V}\mapsto E^{V}{}'}$ ${\displaystyle f_{B}:B\mapsto B'}$ ${\displaystyle (f_{E},f_{V})}$ ${\displaystyle (E,E^{V})}$ ${\displaystyle (E',E^{V}{}')}$ ${\displaystyle (f_{E},f_{H})}$ ${\displaystyle (E,E^{H})}$ ${\displaystyle (E',E^{H}{}')}$ ${\displaystyle (f_{V},f_{B})}$ ${\displaystyle (E^{V},B)}$ ${\displaystyle (E^{V}{}',B')}$ ${\displaystyle (f_{H},f_{B})}$ ${\displaystyle (E^{H},B)}$ ${\displaystyle (E^{H}{}',B')}$

El ' inverso del fibrado doble vectorial es el fibrado doble vectorial . ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)}$ ${\displaystyle (E,E^{V},E^{H},B)}$

Ejemplos

Si es un fibrado vectorial sobre una variedad diferenciable , entonces es un fibrado vectorial doble cuando se considera su estructura de fibrado vectorial secundario . ${\displaystyle (E,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (TE,E,TM,M)}$

Si es una variedad diferenciable, entonces su fibrado doble tangente es un fibrado doble vectorial. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (TTM,TM,TM,M)}$

Referencias

Mackenzie, K. (1992), "Álgebroides de Lie dobles y geometría de segundo orden, I", Advances in Mathematics , 94 (2): 180–239, doi : 10.1016/0001-8708(92)90036-k