La fórmula de rotación de Rodrigues

Fórmula vectorial para una rotación en el espacio, dado su eje.

En la teoría de la rotación tridimensional , la fórmula de rotación de Rodrigues , que lleva el nombre de Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector en el espacio, dado un eje y un ángulo de rotación . Por extensión, esto se puede utilizar para transformar los tres vectores base para calcular una matriz de rotación en SO(3) , el grupo de todas las matrices de rotación, a partir de una representación de eje-ángulo . En términos de la teoría de Lie, la fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular el mapa exponencial del álgebra de Lie entonces (3) a su grupo de Lie SO(3) .

Esta fórmula se atribuye a Leonhard Euler , Olinde Rodrigues o una combinación de ambos. Un análisis histórico detallado realizado en 1989 concluyó que la fórmula debería atribuirse a Euler y recomendó llamarla "fórmula de rotación finita de Euler". ^[1] Esta propuesta ha recibido un apoyo notable, ^[2] pero algunos otros han visto la fórmula como solo una de las muchas variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues , acreditando así a ambas. ^[3]

Declaración

Si v es un vector en ℝ ³ y k es un vector unitario que describe un eje de rotación alrededor del cual v gira en un ángulo θ según la regla de la mano derecha , la fórmula de Rodrigues para el vector rotado v _rot es

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} ~(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta )\,.}$

La intuición de la fórmula anterior es que el primer término reduce el vector, mientras que el segundo lo sesga (mediante la suma de vectores ) hacia la nueva posición de rotación. El tercer término vuelve a agregar la altura (relativa a ) que se perdió con el primer término. ${\displaystyle {\textbf {k}}}$

Una afirmación alternativa es escribir el vector del eje como un producto cruzado a × b de dos vectores cualesquiera a y b distintos de cero que definen el plano de rotación, y el sentido del ángulo θ se mide lejos de a y hacia b . Si α denota el ángulo entre estos vectores, los dos ángulos θ y α no son necesariamente iguales, pero se miden en el mismo sentido. Entonces el vector del eje unitario se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \alpha }}\,.}$

Esta forma puede ser más útil cuando están involucrados dos vectores que definen un plano. Un ejemplo en física es la precesión de Thomas , que incluye la rotación dada por la fórmula de Rodrigues, en términos de dos velocidades de impulso no colineales, y el eje de rotación es perpendicular a su plano.

Derivación

La fórmula de rotación de Rodrigues gira v en un ángulo θ alrededor del vector k descomponiéndolo en sus componentes paralelos y perpendiculares a k , y rotando solo el componente perpendicular.

Geometría vectorial de la fórmula de rotación de Rodrigues, así como su descomposición en componentes paralelas y perpendiculares.

Sea k un vector unitario que define un eje de rotación, y sea v cualquier vector que gire alrededor de k en un ángulo θ ( regla de la mano derecha , en sentido antihorario en la figura), produciendo el vector rotado . ${\displaystyle \mathbb {v} _{\text{rot}}}$

Usando los productos punto y cruz , el vector v se puede descomponer en componentes paralelas y perpendiculares al eje k ,

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }\,,}$

donde la componente paralela a k se llama proyección vectorial de v sobre k ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} }$,

y la componente perpendicular a k se llama vector de rechazo de v desde k :

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} =-\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )}$,

donde la última igualdad se deriva de la fórmula del producto triple vectorial : . Finalmente, el vector es una copia de girado 90° alrededor de . Así los tres vectores ${\textstyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle \mathbf {k} \,,\ \mathbf {v} _{\perp }\,,\,\mathbf {k} \times \mathbf {v} }$$

diestra ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Bajo la rotación, la componente paralela al eje no cambiará de magnitud ni de dirección: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }\,;}$

mientras que la componente perpendicular conservará su magnitud pero rotará su dirección en el plano perpendicular abarcado por y , de acuerdo con ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,,}$

en analogía con las coordenadas polares planas ( r , θ ) en la base cartesiana e _x , e _y :

${\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\theta )\mathbf {e} _{x}+r\sin(\theta )\mathbf {e} _{y}\,.}$

Ahora el vector rotado completo es:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }+\cos(\theta )\,\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .}$

Sustituyendo o en la última expresión se obtiene respectivamente: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{rot}}=\cos(\theta )\,\mathbf {v} +(1-\cos \theta )(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{rot}}=\mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .}$$

Notación matricial

La transformación lineal definida por el producto cruzado se da en coordenadas representando v y k × v como matrices de columnas : ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {k} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\,.}$

Es decir, la matriz de esta transformación lineal (con respecto a las coordenadas estándar) es la matriz de productos cruzados :

${\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]\,.}$

Es decir,

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} =\mathbf {K} \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )=\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}$

Por tanto, la última fórmula del apartado anterior se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}$

La recopilación de términos permite la expresión compacta.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \mathbf {v} }$

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}}$

es la matriz de rotación a través de un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del eje k , y I la matriz identidad de 3 × 3 . ^[4] Esta matriz R es un elemento del grupo de rotación SO(3) de ℝ ³ , y K es un elemento del álgebra de Lie que genera ese grupo de Lie (tenga en cuenta que K es simétrico sesgado, lo que caracteriza a ). ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

En términos de la matriz exponencial,

${\displaystyle \mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K} )\,.}$

Para ver que se cumple la última identidad, se observa que

${\displaystyle \mathbf {R} (\theta )\mathbf {R} (\phi )=\mathbf {R} (\theta +\phi ),\quad \mathbf {R} (0)=\mathbf {I} \,,}$

característica de un subgrupo de un solo parámetro , es decir, exponencial, y que las fórmulas coinciden para θ infinitesimal .

Para obtener una derivación alternativa basada en esta relación exponencial, consulte el mapa exponencial desde hasta SO(3) ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ . Para el mapeo inverso, consulte el mapa de registro de SO(3) a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ .

El dual de Hodge de la rotación es justo el que permite extraer tanto el eje de rotación como el seno del ángulo de rotación de la propia matriz de rotación, con la ambigüedad habitual, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-\sin(\theta )\mathbf {k} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\sigma \left|\mathbf {R} ^{*}\right|\\[3pt]\mathbf {k} &=-{\frac {\sigma \mathbf {R} ^{*}}{\left|\mathbf {R} ^{*}\right|}}\end{aligned}}}$

dónde . La expresión simple anterior resulta del hecho de que los duales de Hodge de y son cero, y . ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}=-\mathbf {k} }$

Ver también

• ángulo del eje
• Rotación (matemáticas)
• ASI QUE(3) y ASI(4)
• Fórmula de Euler-Rodrigues

Referencias

1. Cheng, Hui; Gupta, KC (marzo de 1989). "Una nota histórica sobre rotaciones finitas". Revista de Mecánica Aplicada . 56 (1). Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos: 139–145 . Consultado el 11 de abril de 2022 .
2. Fraiture, Luc (2009). "Una historia de la descripción de la rotación finita tridimensional". La Revista de Ciencias Astronáuticas . 57 . Saltador: 207–232 . Consultado el 15 de abril de 2022 .
3. Dai, Jian S. (octubre de 2015). "Variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues, conjugación de cuaterniones y conexiones intrínsecas". Mecanismo y teoría de las máquinas . 92 . Elsevier: 144-152 . Consultado el 14 de abril de 2022 .
4. Pertenencia, Serge. "Fórmula de rotación de Rodrigues". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de abril de 2021 .

• Leonhard Euler , "Problema algebraicum ob afectos prorsus singulares memorabile", Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Ciencia. Petropolitanae 15 (1770), 75-106.
• Olinde Rodrigues , "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendants des cause qui peuvent les produire", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1840 ), 380–440. en línea.
• Friedberg, Richard (2022). "Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme solide...", traducción y comentario". arXiv:2211.07787 .
• Don Koks, (2006) Exploraciones en física matemática , Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8 . Capítulo 4, págs. 147 y siguientes. Una ruta indirecta hacia el álgebra geométrica 

enlaces externos

• Johan E. Mebius, Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales a partir de la fórmula general para rotaciones cuatridimensionales., arXiv General Mathematics 2007.
• Para ver otro ejemplo descriptivo, consulte: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, Chris Hecker, sección de física, parte 4. "La tercera dimensión" – en la página 3, sección ``Eje y ángulo , http://chrishecker. es/images/b/bb/Gdmphys4.pdf