Fórmula de trazas de Arthur-Selberg

En matemáticas , la fórmula de traza de Arthur-Selberg es una generalización de la fórmula de traza de Selberg del grupo SL ₂ a grupos reductivos arbitrarios sobre cuerpos globales , desarrollada por James Arthur en una larga serie de artículos desde 1974 hasta 2003. Describe el carácter de la representación de G ( A ) en la parte discreta L²
₀( G ( F )\ G ( A )) de L ² ( G ( F )\ G ( A )) en términos de datos geométricos, donde G es un grupo algebraico reductivo definido sobre un cuerpo global F y A es el anillo de adeles de F .

Existen varias versiones diferentes de la fórmula de la traza. La primera versión fue la fórmula de la traza no refinada , cuyos términos dependen de operadores de truncamiento y tienen la desventaja de que no son invariantes. Arthur encontró más tarde la fórmula de la traza invariante y la fórmula de la traza estable, que son más adecuadas para las aplicaciones. La fórmula de la traza simple (Flicker y Kazhdan 1988) es menos general pero más fácil de demostrar. La fórmula de la traza local es una analogía sobre campos locales. La fórmula de la traza relativa de Jacquet es una generalización en la que se integra la función kernel sobre subgrupos no diagonales.

Notación

• F es un campo global , como el campo de los números racionales.
• A es el anillo de adeles de F.
• G es un grupo algebraico reductivo definido sobre F.

El estuche compacto

En el caso en que G ( F )\ G ( A ) es compacto, la representación se divide como una suma directa de representaciones irreducibles, y la fórmula de traza es similar a la fórmula de Frobenius para el carácter de la representación inducida a partir de la representación trivial de un subgrupo de índice finito .

En el caso compacto, que se debe esencialmente a Selberg, los grupos G ( F ) y G ( A ) pueden ser reemplazados por cualquier subgrupo discreto Γ de un grupo localmente compacto G con Γ\ G compacto. El grupo G actúa sobre el espacio de funciones sobre Γ\ G por la representación regular derecha R , y esto se extiende a una acción del anillo de grupos de G , considerado como el anillo de funciones f sobre G . El carácter de esta representación está dado por una generalización de la fórmula de Frobenius como sigue. La acción de una función f sobre una función φ sobre Γ\ G está dada por

${\displaystyle \displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.}$

En otras palabras, R ( f ) es un operador integral en L ² (Γ\ G ) (el espacio de funciones en Γ\ G ) con núcleo

${\displaystyle \displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).}$

Por lo tanto, la traza de R ( f ) está dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.}$

El núcleo K se puede escribir como

${\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)}$

donde O es el conjunto de clases de conjugación en Γ , y

${\displaystyle K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)}$

donde es un elemento de la clase de conjugación , y es su centralizador en . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Por otra parte, la traza también viene dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (f(\pi ))}$

donde es la multiplicidad de la representación unitaria irreducible de en y es el operador en el espacio de dado por . ${\displaystyle m(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ ${\displaystyle f(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \int _{G}f(y)\pi (y)dy}$

Ejemplos

• Si Γ y G son ambos finitos, la fórmula de la traza es equivalente a la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida.
• Si G es el grupo R de números reales y Γ el subgrupo Z de números enteros, entonces la fórmula de traza se convierte en la fórmula de suma de Poisson .

Dificultades en el caso no compacto

En la mayoría de los casos de la fórmula de traza de Arthur-Selberg, el cociente G ( F )\ G ( A ) no es compacto, lo que causa los siguientes problemas (estrechamente relacionados):

• La representación en L ² ( G ( F )\ G ( A )) contiene no sólo componentes discretos, sino también componentes continuos.
• El núcleo ya no es integrable sobre la diagonal y los operadores R ( f ) ya no son de clase traza.

Arthur resolvió estos problemas truncando el núcleo en las cúspides de tal manera que el núcleo truncado sea integrable sobre la diagonal. Este proceso de truncamiento causa muchos problemas; por ejemplo, los términos truncados ya no son invariantes bajo conjugación. Al manipular los términos aún más, Arthur pudo producir una fórmula de traza invariante cuyos términos son invariantes.

La fórmula original de traza de Selberg estudiaba un subgrupo discreto Γ de un grupo de Lie real G ( R ) (normalmente SL ₂ ( R ) ). En rangos superiores es más conveniente sustituir el grupo de Lie por un grupo adélico G ( A ) . Una razón para ello es que el grupo discreto puede tomarse como el grupo de puntos G ( F ) para F un cuerpo (global), con el que es más fácil trabajar que con subgrupos discretos de grupos de Lie. También hace que sea más fácil trabajar con los operadores de Hecke .

La fórmula de traza en el caso no compacto

Una versión de la fórmula de traza (Arthur 1983) afirma la igualdad de dos distribuciones en G ( A ) :

${\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}$

El lado izquierdo es el lado geométrico de la fórmula de traza, y es una suma sobre clases de equivalencia en el grupo de puntos racionales G ( F ) de G , mientras que el lado derecho es el lado espectral de la fórmula de traza y es una suma sobre ciertas representaciones de subgrupos de G ( A ) .

Distribuciones

Términos geométricos

Términos espectrales

La fórmula de la traza invariante

La versión de la fórmula de traza anterior no es particularmente fácil de usar en la práctica; uno de los problemas es que los términos que la componen no son invariantes en la conjugación. Arthur (1981) encontró una modificación en la que los términos son invariantes.

La fórmula de traza invariante establece

${\displaystyle \sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi }$

dónde

• f es una función de prueba en G ( A )
• M abarca un conjunto finito de subgrupos racionales de Levi de G
• ( M ( Q )) es el conjunto de clases de conjugación de M ( Q )
• Π( M ) es el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de M ( A )
• a ^M (γ) está relacionado con el volumen de M ( Q ,γ)\ M ( A ,γ)
• a ^M (π) está relacionado con la multiplicidad de la representación irreducible π en L ² ( M ( Q )\ M ( A ))
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\gamma ,f)}$ Está relacionado con ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx}$
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\pi ,f)}$está relacionado con el rastro ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx}$
• W ₀ ( M ) es el grupo de Weyl de M .

Fórmula de traza estable

Langlands (1983) sugirió la posibilidad de un refinamiento estable de la fórmula de trazas que se puede utilizar para comparar la fórmula de trazas de dos grupos diferentes. Arthur (2002) descubrió y demostró dicha fórmula estable.

Dos elementos de un grupo G ( F ) se denominan conjugados estables si son conjugados sobre la clausura algebraica del cuerpo F . El punto es que cuando uno compara elementos en dos grupos diferentes, relacionados por ejemplo por torsión interna, normalmente no se obtiene una buena correspondencia entre clases de conjugación, sino solo entre clases de conjugación estables. Entonces, para comparar los términos geométricos en las fórmulas de traza para dos grupos diferentes, uno querría que los términos no solo fueran invariantes bajo conjugación, sino que también se comportaran bien en clases de conjugación estables; estas se llaman distribuciones estables .

La fórmula de traza estable escribe los términos de la fórmula de traza de un grupo G en términos de distribuciones estables. Sin embargo, estas distribuciones estables no son distribuciones en el grupo G , sino distribuciones en una familia de grupos cuasifilados llamados grupos endoscópicos de G . Las integrales orbitales inestables en el grupo G corresponden a integrales orbitales estables en sus grupos endoscópicos H .

Fórmula de trazado simple

Existen varias formas simples de la fórmula de traza que restringen de alguna manera las funciones de prueba f con soporte compacto (Flicker y Kazhdan, 1988). La ventaja de esto es que la fórmula de traza y su demostración se vuelven mucho más fáciles, y la desventaja es que la fórmula resultante es menos poderosa.

Por ejemplo, si las funciones f son cúspides, lo que significa que

${\displaystyle \int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0}$

para cualquier radical unipotente N de un subgrupo parabólico propio (definido sobre F ) y cualquier x , y en G ( A ) , entonces el operador R ( f ) tiene imagen en el espacio de formas de cúspide por lo que es compacto.

Aplicaciones

Jacquet y Langlands (1970) utilizaron la fórmula de trazas de Selberg para demostrar la correspondencia de Jacquet-Langlands entre las formas automórficas en GL ₂ y sus formas retorcidas. La fórmula de trazas de Arthur-Selberg se puede utilizar para estudiar correspondencias similares en grupos de rango superior. También se puede utilizar para demostrar varios otros casos especiales de functorialidad de Langlands, como el cambio de base, para algunos grupos.

Kottwitz (1988) utilizó la fórmula de traza de Arthur-Selberg para demostrar la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa .

Lafforgue (2002) describió cómo se utiliza la fórmula de la traza en su prueba de la conjetura de Langlands para grupos lineales generales sobre campos de funciones.

Véase también

• Forma de onda de Maass
• Forma armónica de Maass
• Las conjeturas de Arturo

Referencias

• Arthur, James (1981), "La fórmula de la traza en forma invariante", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 114 (1): 1–74, doi :10.2307/1971376, JSTOR  1971376, MR  0625344
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Enlaces externos

• Obras de James Arthur Archivado el 16 de mayo de 2021 en Wayback Machine en el Instituto Clay
• Archivo de obras completas de James Arthur en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto