Fórmula de los cordones de zapatos

Algoritmo matemático

Esquema de cordones para determinar el área de un polígono con coordenadas de puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$

La fórmula del cordón , también conocida como fórmula del área de Gauss y fórmula del agrimensor , ^[1] es un algoritmo matemático para determinar el área de un polígono simple cuyos vértices están descritos por sus coordenadas cartesianas en el plano. ^[2] Se llama fórmula del cordón debido a la constante multiplicación cruzada de las coordenadas que forman el polígono, como enhebrar cordones de zapatos. ^[2] Tiene aplicaciones en agrimensura y silvicultura, ^[3] entre otras áreas.

La fórmula fue descrita por Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724-1788) en 1769 ^[4] y se basa en la fórmula del trapezoide que fue descrita por Carl Friedrich Gauss y CGJ Jacobi . ^[5] La forma triangular de la fórmula del área puede considerarse un caso especial del teorema de Green .

La fórmula del área también se puede aplicar a polígonos autosuperpuestos ya que el significado del área sigue siendo claro aunque los polígonos autosuperpuestos no son generalmente simples . ^[6] Además, un polígono autosuperpuesto puede tener múltiples "interpretaciones", pero la fórmula del cordón se puede utilizar para mostrar que el área del polígono es la misma independientemente de la interpretación. ^[7]

Las fórmulas del área del polígono

Idea básica: cualquier arista de un polígono determina el área con signo de un trapezoide. Todas estas áreas se suman para dar el área del polígono.

Dado: Un polígono plano simple con una secuencia de puntos orientada positivamente (en sentido contrario a las agujas del reloj) en un sistema de coordenadas cartesianas . Para simplificar las fórmulas a continuación, es conveniente establecer . ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,\dots ,n}$
${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$

Las fórmulas:
El área del polígono dado se puede expresar mediante una variedad de fórmulas, que están conectadas por operaciones simples (ver a continuación):
Si el polígono está orientado negativamente , entonces el resultado de las fórmulas es negativo. En cualquier caso es el área buscada del polígono. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$

Fórmula del trapezoide

La fórmula del trapezoide resume una secuencia de áreas orientadas de trapecios que tienen como uno de sus cuatro bordes (ver a continuación): ${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$ ${\displaystyle P_{i}P_{i+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{1})(x_{n}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}$$

Fórmula del triángulo

La fórmula del triángulo resume las áreas orientadas de los triángulos : ^[9] ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\Big )}\end{aligned}}}$$

Fórmula de los cordones de zapatos

Esquema de cordones, forma vertical: Con todas las barras dibujadas, la matriz se parece vagamente a un zapato con los cordones atados, lo que da origen al nombre del algoritmo.

La fórmula del triángulo es la base de la popular fórmula del cordón , que es un esquema que optimiza el cálculo de la suma de los determinantes 2×2 a mano: $${\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+\cdots +{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\\[10mu]&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$$

A veces este determinante se transpone (se escribe verticalmente, en dos columnas), como se muestra en el diagrama.

Otras fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$$

Se puede dar una formulación particularmente concisa de la fórmula en términos del álgebra exterior . Si son los vértices consecutivos del polígono (considerados como vectores en el plano cartesiano), entonces ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right|.}$$

Ejemplo

Forma de cordón horizontal para el ejemplo.

Ejemplo

Para el área del pentágono con uno se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),\\&P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}\\&=(1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-32)\;+(48-5)=33\\A&=16.5\end{aligned}}}$$

La ventaja de la forma de cordón: solo se deben escribir 6 columnas para calcular los 5 determinantes con 10 columnas.

Derivación de las fórmulas

Fórmula del trapezoide

Derivación de la fórmula del trapezoide

La arista determina el trapezoide con su área orientada ${\displaystyle P_{i},P_{i+1}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}$

$${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$$

En caso de que el número sea negativo, en caso contrario positivo o si . En el diagrama la orientación de una arista se muestra mediante una flecha. El color muestra el signo de : rojo significa , verde indica . En el primer caso el trapezoide se llama negativo en el segundo caso positivo . Los trapecios negativos eliminan aquellas partes de los trapecios positivos, que están fuera del polígono. En el caso de un polígono convexo (en el diagrama el ejemplo superior) esto es obvio: el área del polígono es la suma de las áreas de los trapecios positivos (aristas verdes) menos las áreas de los trapecios negativos (aristas rojas). En el caso no convexo uno tiene que considerar la situación más cuidadosamente (ver diagrama). En cualquier caso el resultado es ${\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}=0}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}<0}$ ${\displaystyle A_{i}>0}$ $${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$$

Forma triangular, forma determinante

Forma de triángulo: El color de los bordes indica qué área del triángulo es positiva (verde) y negativa (rojo) respectivamente.

Eliminando los corchetes y usando (ver convención arriba), se obtiene la forma determinante de la fórmula del área: Debido a que la mitad del i-ésimo determinante es el área orientada del triángulo, esta versión de la fórmula del área se llama forma triangular . ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}$ ${\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}$$ ${\displaystyle O,P_{i},P_{i+1}}$

Otras fórmulas

Con (ver convención arriba) se obtiene Combinando ambas sumas y excluyendo se obtiene Con la identidad se obtiene ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }$ ${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$ $${\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}}$$ ${\displaystyle y_{i}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$$

Alternativamente, este es un caso especial del teorema de Green con una función establecida en 0 y la otra establecida en x, de modo que el área es la integral de xdy a lo largo del límite.

Manipulaciones de un polígono

${\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})}$indica el área orientada del polígono simple con (ver arriba). es positivo/negativo si la orientación del polígono es positiva/negativa. A partir de la forma triangular de la fórmula del área o del diagrama siguiente, se observa : En el caso de uno debe primero desplazar los índices. ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1<k<n}$ $${\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})=A(P_{1},\dots ,P_{k-1},P_{k+1},\dots ,P_{n})+A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$$ ${\displaystyle k=1\;{\text{or}}\;n}$

Por eso:

1. El movimiento afecta únicamente y no cambia nada. No hay cambios en el área si se mueve en paralelo a . ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$ ${\displaystyle A(P_{1},...,P_{k-1},P_{k+1},...,P_{n})}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{k-1}P_{k+1}}}}$
2. La purga cambia el área total en , que puede ser positiva o negativa. ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$
3. Insertar un punto entre cambia el área total en , que puede ser positiva o negativa. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P_{k},P_{k+1}}$ ${\displaystyle A(P_{k},Q,P_{k+1})}$

Ejemplo:

${\displaystyle P_{1}=(3,1),P_{2}=(7,2),P_{3}=(4,4),}$

${\displaystyle P_{4}=(8,6),P_{5}=(1,7),\ Q=(4,3)}$

Manipulaciones de un polígono

Con la notación anterior del esquema de cordones se obtiene para el área orientada del

• polígono azul : $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&4&8&1&3\\1&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=20.5}$$
• Triángulo verde : $${\displaystyle A(P_{2},P_{3},P_{4})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}7&4&8&7\\2&4&6&2\end{vmatrix}}=-7}$$
• Triángulo rojo : $${\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&3\\1&3&2&1\end{vmatrix}}=-3.5}$$
• polígono azul punto menos : ${\displaystyle P_{3}}$ $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&8&1&3\\1&2&6&7&1\end{vmatrix}}=27.5}$$
• polígono azul más punto entre : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ $${\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&4&8&1&3\\1&3&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=17}$$

Se comprueba que se cumplen las siguientes ecuaciones: $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})+A(P_{2},P_{3},P_{4})=20.5}$$ $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})+A(P_{1},Q,P_{2})=A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=17}$$

Generalización

En dimensiones superiores, el área de un polígono se puede calcular a partir de sus vértices usando la forma de álgebra exterior de la fórmula Shoelace (por ejemplo, en 3D, la suma de productos cruzados sucesivos ): (cuando los vértices no son coplanares , esto calcula el área vectorial encerrada por el bucle, es decir, el área proyectada o "sombra" en el plano en el que es mayor). $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right\|}$$

Esta formulación también se puede generalizar para calcular el volumen de un politopo n-dimensional a partir de las coordenadas de sus vértices, o más precisamente, a partir de su malla de hipersuperficie . ^{[10] Por ejemplo, el volumen de un} poliedro tridimensional se puede encontrar triangulando su malla de superficie y sumando los volúmenes con signo de los tetraedros formados por cada triángulo de superficie y el origen: donde la suma es sobre las caras y se debe tener cuidado de ordenar los vértices de manera consistente (todos en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj vistos desde fuera del poliedro). Alternativamente, se puede derivar una expresión en términos de las áreas de las caras y las normales de superficie utilizando el teorema de divergencia (ver Poliedro § Volumen ). $${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{a}\wedge v_{b}\wedge v_{c}\right\|}$$

Véase también

• Planímetro
• Área del polígono
• Teorema de Pick
• Fórmula de Heron

Enlaces externos

• Vídeo de Mathologer sobre la fórmula del cordón de Gauss

Referencias

1. Bart Braden (1986). "La fórmula del área del agrimensor" (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Archivado desde el original (PDF) el 29 de junio de 2014.
2. Dahlke, Karl. "Shoelace Formula" . Consultado el 9 de junio de 2008 .
3. Hans Pretzsch, Dinámica forestal, crecimiento y rendimiento: de la medición al modelo , Springer, 2009, ISBN 3-540-88306-1 , pág. 232. 
4. Meister, ALF (1769), "Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum afectibus", Nov. Com. Gött. (en latín), 1 : 144.
5. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662068095, 9783662068090, p. 116
6. PW Shor; CJ Van Wyk (1992), "Detección y descomposición de curvas autosuperpuestas", Comput. Geom. Theory Appl. , 2 (1): 31–50, doi : 10.1016/0925-7721(92)90019-O
7. Ralph P. Boland; Jorge Urrutia (2000). Problemas de área de polígonos . 12.ª Conferencia Canadiense sobre Geometría Computacional. págs. 159–162.
8. Antti Laaksonen: Guía para la programación competitiva: aprendizaje y mejora de algoritmos mediante concursos , Springer, 2018, ISBN 3319725475, 9783319725475, pág. 217
9. Mauren Abreu de Souza, Humberto Remigio Gamba, Helio Pedrini: Imágenes multimodales: aplicaciones y técnicas computacionales , Springer, 2018, ISBN 331998974X, 9783319989747, pág. 229
10. Allgower, Eugene L.; Schmidt, Phillip H. (1986). "Cálculo de volúmenes de poliedros" (PDF) . Matemáticas de la computación . 46 (173): 171–174. doi : 10.2307/2008221 . ISSN  0025-5718. JSTOR  2008221.