Combinación convexa

Combinación lineal de puntos donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1

Dados tres puntos en un plano como se muestra en la figura, el punto es una combinación convexa de los tres puntos, mientras que no es . ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

( es sin embargo una combinación afín de los tres puntos, ya que su envoltura afín es el plano entero). ${\displaystyle Q}$

Combinación convexa de dos puntos en un espacio vectorial bidimensional como animación en Geogebra con y ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}}$

Combinación convexa de tres puntos en un espacio vectorial bidimensional como se muestra en la animación con , . Cuando P está dentro del triángulo . De lo contrario, cuando P está fuera del triángulo, al menos uno de los es negativo. ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1}$ ${\displaystyle P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle :=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Combinación convexa de cuatro puntos en un espacio vectorial tridimensional como animación en Geogebra con y . Cuando P está dentro del tetraedro . De lo contrario, cuando P está fuera del tetraedro, al menos uno de los es negativo. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P}$ ${\displaystyle \alpha _{i}>=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Combinación convexa de dos funciones como vectores en un espacio vectorial de funciones: visualizada en Geogebra de código abierto con y como primera función se define un polinomio. Se eligió una función trigonométrica como segunda función. La figura ilustra la combinación convexa de y como gráfico en color rojo. ${\displaystyle [a,b]=[-4,7]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}$ ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x):=2\cdot \cos(x)+1}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En geometría convexa y álgebra vectorial , una combinación convexa es una combinación lineal de puntos (que pueden ser vectores , escalares o, más generalmente, puntos en un espacio afín ) donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1. ^[1] En otras palabras, la operación es equivalente a un promedio ponderado estándar , pero cuyos pesos se expresan como un porcentaje del peso total, en lugar de como una fracción del recuento de los pesos como en un promedio ponderado estándar.

Definición formal

Más formalmente, dado un número finito de puntos en un espacio vectorial real , una combinación convexa de estos puntos es un punto de la forma ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

donde los números reales satisfacen y ^[1] ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$

Como ejemplo particular, cada combinación convexa de dos puntos se encuentra en el segmento de línea entre los puntos. ^[1]

Un conjunto es convexo si contiene todas las combinaciones convexas de sus puntos. La envoltura convexa de un conjunto dado de puntos es idéntica al conjunto de todas sus combinaciones convexas. ^[1]

Existen subconjuntos de un espacio vectorial que no son cerrados bajo combinaciones lineales pero sí bajo combinaciones convexas. Por ejemplo, el intervalo es convexo pero genera la recta de números reales bajo combinaciones lineales. Otro ejemplo es el conjunto convexo de distribuciones de probabilidad , ya que las combinaciones lineales no conservan ni la no negatividad ni la afinidad (es decir, tienen una integral total de uno). ${\displaystyle [0,1]}$

Otros objetos

• Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución de mezcla finita de componentes si su función de densidad de probabilidad es una combinación convexa de las denominadas densidades de componentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Construcciones relacionadas

• Una combinación cónica es una combinación lineal con coeficientes no negativos. Cuando se utiliza un punto como origen de referencia para definir vectores de desplazamiento , entonces es una combinación convexa de puntos si y solo si el desplazamiento cero es una combinación cónica no trivial de sus respectivos vectores de desplazamiento en relación con . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$
• Las medias ponderadas son funcionalmente iguales a las combinaciones convexas, pero utilizan una notación diferente. No es necesario que los coeficientes ( pesos ) de una media ponderada sumen 1; en cambio, la combinación lineal ponderada se divide explícitamente por la suma de los pesos.
• Las combinaciones afines son como las combinaciones convexas, pero no es necesario que los coeficientes sean no negativos. Por lo tanto, las combinaciones afines se definen en espacios vectoriales sobre cualquier cuerpo .

Véase también

• Casco afín
• Teorema de Carathéodory (envolvente convexa)
• Simplex
• Sistema de coordenadas baricéntrico
• Espacio convexo

Referencias

1. Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Análisis convexo , Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, NJ, págs. 11-12, MR  0274683

Enlaces externos

• Suma/combinación convexa con un triángulo - ilustración interactiva
• Suma/combinación convexa con un hexágono - ilustración interactiva
• Suma/combinación convexa con un tetraedro - ilustración interactiva