modelo negro

Modelo financiero

El modelo Black (a veces conocido como modelo Black-76 ) es una variante del modelo de valoración de opciones de Black-Scholes . Sus principales aplicaciones son la fijación de precios de opciones sobre contratos futuros , opciones sobre bonos , límites máximos y mínimos de tasas de interés y swapciones . Fue presentado por primera vez en un artículo escrito por Fischer Black en 1976.

El modelo de Black se puede generalizar en una clase de modelos conocidos como modelos a término logarítmicos normales, también conocidos como modelo de mercado LIBOR .

La fórmula negra

La fórmula de Black es similar a la fórmula de Black-Scholes para valorar opciones sobre acciones , excepto que el precio al contado del subyacente se reemplaza por un precio de futuros descontado F.

Supongamos que hay una tasa de interés libre de riesgo constante r y el precio de futuros F(t) de un subyacente particular es log-normal con volatilidad constante σ . Entonces, la fórmula de Black establece que el precio de una opción de compra europea con vencimiento T en un contrato de futuros con precio de ejercicio K y fecha de entrega T' (con ) es ${\displaystyle T'\geq T}$

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

El precio de venta correspondiente es

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

dónde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

y N(.) es la función de distribución normal acumulativa .

Tenga en cuenta que T' no aparece en las fórmulas aunque podría ser mayor que T . Esto se debe a que los contratos de futuros se valoran al precio de mercado y, por lo tanto, el pago se realiza cuando se ejerce la opción. Si consideramos una opción sobre un contrato a plazo que vence en el momento T' > T , el pago no se produce hasta T' . Así, el factor de descuento se sustituye por ya que hay que tener en cuenta el valor temporal del dinero . La diferencia en los dos casos queda clara a partir de la derivación siguiente. ${\displaystyle e^{-rT}}$ ${\displaystyle e^{-rT'}}$

Derivación y supuestos

La fórmula de Black se deriva fácilmente del uso de la fórmula de Margrabe , que a su vez es una aplicación simple, pero inteligente, de la fórmula de Black-Scholes .

El pago de la opción de compra sobre el contrato de futuros es . Podemos considerar esto como una opción de intercambio (Margrabe) al considerar que el primer activo y el segundo activo son el bono sin riesgo que paga $1 a la vez . Luego, la opción de compra se ejerce en el momento en que el primer activo vale más que los bonos sin riesgo. Los supuestos de la fórmula de Margrabe se cumplen con estos activos. ${\displaystyle \max(0,F(T)-K)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Lo único que queda por comprobar es que el primer activo sea efectivamente un activo. Esto se puede ver al considerar una cartera formada en el momento 0 con contratos a término con fecha de entrega y bonos sin riesgo a largo plazo (obsérvese que bajo la tasa de interés determinista, los precios a término y de futuros son iguales, por lo que no hay ambigüedad aquí). Luego, en cualquier momento, puede cancelar su obligación por el contrato a plazo acortando otro contrato a plazo con la misma fecha de entrega para obtener la diferencia en los precios a plazo, pero descontados al valor presente: . La liquidación de los bonos sin riesgo, cada uno de los cuales vale , da como resultado un pago neto de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$

Ver también

• Matemáticas financieras
• Scholes negro
• Descripción de aplicaciones
  • Opción de bonos #Valoración
  • Contrato de futuros #Opciones sobre futuros
  • Límite y piso de tasas de interés #Modelo negro
  • #Valoración de Swaption

Referencias

• Negro, Fischer (1976). El precio de los contratos de productos básicos, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. y Steven W. Kohlhagen (1983). Valores de opciones en moneda extranjera, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): "Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura a plazo con tasas de interés logarítmicas normales", Journal of Finance, 52(1), 409-430.

enlaces externos

Discusión

• Opciones de bonos, límites máximos y el modelo negro Dra. Milica Cudina, Universidad de Texas en Austin

Herramientas en línea

• Calculadora de Caplet y Floorlet Dr. Shing Hing Man, Gestión de Riesgos de Thomson-Reuters