Teorema de extinción de Ewald-Oseen

En óptica , el teorema de extinción de Ewald-Oseen , a veces denominado simplemente teorema de extinción , es un teorema que sustenta la comprensión común de la dispersión (así como la refracción, la reflexión y la difracción). Recibe su nombre en honor a Paul Peter Ewald y Carl Wilhelm Oseen , quienes demostraron el teorema en medios cristalinos e isotrópicos, respectivamente, en 1916 y 1915. ^[1] Originalmente, el teorema se aplicaba a la dispersión por objetos dieléctricos isotrópicos en el espacio libre. El alcance del teorema se amplió en gran medida para abarcar una amplia variedad de medios bianisotrópicos. ^[2]

Descripción general

Una parte importante de la teoría de la física óptica es partir de la física microscópica (el comportamiento de los átomos y los electrones) y utilizarla para derivar las conocidas leyes macroscópicas de la óptica. En particular, se deduce cómo funciona el índice de refracción y de dónde proviene, a partir de la física microscópica. El teorema de extinción de Ewald-Oseen es una parte de esa derivación (al igual que la ecuación de Lorentz-Lorenz , etc.).

Cuando la luz que viaja en el vacío entra en un medio transparente como el vidrio, se ralentiza, como se describe mediante el índice de refracción . Aunque este hecho es famoso y familiar, en realidad es bastante extraño y sorprendente cuando se piensa en él desde el microscopio. Después de todo, según el principio de superposición , la luz en el vidrio es una superposición de:

• La onda de luz original, y
• Las ondas de luz emitidas por los electrones oscilantes en el vidrio.

(La luz es un campo electromagnético oscilante que empuja a los electrones hacia adelante y hacia atrás, emitiendo radiación dipolar ).

Individualmente, cada una de estas ondas viaja a la velocidad de la luz en el vacío, no a la velocidad (más lenta) de la luz en el vidrio. Sin embargo, cuando se suman las ondas, sorprendentemente crean solo una onda que viaja a la velocidad más lenta.

El teorema de extinción de Ewald-Oseen dice que la luz emitida por los átomos tiene un componente que viaja a la velocidad de la luz en el vacío, que cancela exactamente ("extingue") la onda de luz original. Además, la luz emitida por los átomos tiene un componente que parece una onda que viaja a la velocidad más lenta de la luz en el vidrio. En conjunto, la única onda en el vidrio es la onda lenta, de acuerdo con lo que esperamos de la óptica básica.

Una descripción más completa se puede encontrar en Óptica clásica y sus aplicaciones, de Masud Mansuripur. ^[3] Una prueba del teorema clásico se puede encontrar en Principios de óptica , de Born y Wolf., ^[1] y la de su extensión ha sido presentada por Akhlesh Lakhtakia . ^[2]

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

Introducción

Cuando una onda electromagnética entra en un medio dieléctrico, excita (hace resonar) los electrones del material, ya sean libres o unidos, y los pone en un estado vibratorio con la misma frecuencia que la onda. Estos electrones, a su vez, irradiarán sus propios campos electromagnéticos como resultado de su oscilación (campos EM de cargas oscilantes). Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se espera que el campo total en cualquier punto del espacio sea la suma del campo original y el campo producido por los electrones oscilantes. Sin embargo, este resultado es contraintuitivo con respecto a la onda práctica que se observa en el dieléctrico moviéndose a una velocidad de c/n, donde n es el índice de refracción del medio. El teorema de extinción de Ewald-Oseen intenta abordar la desconexión al demostrar cómo la superposición de estas dos ondas reproduce el resultado familiar de una onda que se mueve a una velocidad de c/n.

Derivación

La siguiente es una derivación basada en un trabajo de Ballenegger y Weber. ^[4] Consideremos una situación simplificada en la que una onda electromagnética monocromática normalmente incide en un medio que llena la mitad del espacio en la región z>0 como se muestra en la Figura 1.

Figura 1: El semiespacio z>0 es un material dieléctrico con susceptibilidad χ. El semiespacio z<0 es el vacío.

El campo eléctrico en un punto del espacio es la suma de los campos eléctricos debidos a todas las diversas fuentes. En nuestro caso, separamos los campos en dos categorías en función de sus fuentes generadoras. Denotamos el campo incidente y la suma de los campos generados por los electrones oscilantes en el medio. $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).}$$

El campo total en cualquier punto z en el espacio está dado entonces por la superposición de las dos contribuciones, $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).}$$

Para coincidir con lo que ya observamos, tiene esta forma. Sin embargo, ya sabemos que dentro del medio, z>0, solo observaremos lo que llamamos el campo E transmitido que viaja a través del material a velocidad c/n. ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {T} }}$

Por lo tanto, en este formalismo, $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{T}(z,t)}$$

Esto quiere decir que el campo radiado cancela el campo incidente y crea un campo transmitido que viaja dentro del medio a una velocidad c/n. Usando la misma lógica, fuera del medio el campo radiado produce el efecto de un campo reflejado que viaja a una velocidad c en la dirección opuesta al campo incidente. Supongamos que la longitud de onda es mucho mayor que la separación promedio de los átomos, de modo que el medio puede considerarse continuo. Usamos los campos macroscópicos habituales E y B y tomamos el medio como no magnético y neutro, de modo que las ecuaciones de Maxwell leen tanto los campos eléctricos como magnéticos totales, el conjunto de ecuaciones de Maxwell dentro del dieléctrico , donde incluye la corriente verdadera y de polarización inducida en el material por el campo eléctrico externo. Suponemos una relación lineal entre la corriente y el campo eléctrico, por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)-\mathbf {E} _{R}(z,t)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &={\boldsymbol {\mu }}_{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} },\quad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {B} _{\mathrm {rad} }}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\end{array}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$$

El conjunto de ecuaciones de Maxwell fuera del dieléctrico no tiene término de densidad de corriente $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\end{array}}}$$

Los dos conjuntos de ecuaciones de Maxwell están acoplados ya que el campo eléctrico de vacío aparece en el término de densidad de corriente.

Para una onda monocromática con incidencia normal, el campo eléctrico del vacío tiene la forma . $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }\exp[i(kz-\omega t)],}$$ ${\displaystyle k=\omega /{c}}$

Ahora, para resolver , tomamos el rizo de la tercera ecuación en el primer conjunto de ecuaciones de Maxwell y lo combinamos con la cuarta. ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} })\\[1ex]\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

Simplificamos el doble rizo en un par de pasos usando la suma de Einstein . $${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} )_{i}&=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=(\delta _{il}\delta _{j\mathrm {m} }-\delta _{i\mathrm {m} }\delta _{jl})\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=\partial _{i}(\partial _{j}E_{j})-\partial _{j}\partial _{j}E_{i}\end{aligned}}}$$

De aquí obtenemos, $${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{rad}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} _{rad})-\nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}}$$

Luego sustituyendo por , usando el hecho de que obtenemos, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }={\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)}$$

Al darnos cuenta de que todos los campos tienen la misma dependencia del tiempo , las derivadas temporales son sencillas y obtenemos la siguiente ecuación de onda no homogénea con solución particular ${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\mu _{0}\omega ^{2}\left(\epsilon _{0}+i\sigma /\omega \right)\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-i\mu _{0}\omega \sigma \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{P}=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$$

Para obtener la solución completa, añadimos a la solución particular la solución general de la ecuación homogénea, que es una superposición de ondas planas que viajan en direcciones arbitrarias , donde se encuentra a partir de la ecuación homogénea que es $${\displaystyle \left(\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}\right)_{i}=\int g_{i}({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\phi }})\exp \left(i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} \right)d\Omega }$$ ${\displaystyle k'}$ $${\displaystyle k^{\prime 2}=\mu _{0}\epsilon _{0}\omega ^{2}\left(1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}\right)}$$

Nótese que hemos tomado la solución como una superposición coherente de ondas planas. Debido a la simetría, esperamos que los campos sean los mismos en un plano perpendicular al eje. Por lo tanto, donde es un desplazamiento perpendicular a . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {k} '\cdot \mathbf {a} =0,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle z}$

Como no hay límites en la región , esperamos una onda que se desplace hacia la derecha. La solución de la ecuación homogénea se convierte en: ${\displaystyle z>0}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}=\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)}$$

Sumando esto a la solución particular, obtenemos la onda radiada dentro del medio ( ) ${\displaystyle z>0}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)+\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)}$$

El campo total en cualquier posición es la suma de los campos incidente y radiado en esa posición. Sumando los dos componentes dentro del medio, obtenemos el campo total ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{T}\exp \left(ik'z\right),\qquad z>0}$$

Esta onda viaja dentro del dieléctrico a velocidad ${\displaystyle c/n,}$ $${\displaystyle n=ck'/\omega ={\sqrt {1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}}}}$$

Podemos simplificar lo anterior a una forma familiar del índice de refracción de un dieléctrico isótropo lineal. Para ello, recordamos que en un dieléctrico lineal un campo eléctrico aplicado induce una polarización proporcional al campo eléctrico . Cuando el campo eléctrico cambia, las cargas inducidas se mueven y producen una densidad de corriente dada por . Dado que la dependencia temporal del campo eléctrico es , obtenemos lo que implica que la conductividad ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \partial \mathbf {P} /\partial t}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}\mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle \sigma =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}.}$$

Luego, sustituyendo la conductividad en la ecuación de , se obtiene que es una forma más familiar. Para la región , se impone la condición de una onda que viaja hacia la izquierda. Al fijar la conductividad en esta región , obtenemos la onda reflejada que viaja a la velocidad de la luz. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle n={\sqrt {1+\chi _{e}}}}$$ ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ $${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{R}\exp \left(-ikz\right),}$$

Tenga en cuenta que la nomenclatura de los coeficientes, y , solo se adoptan para que coincidan con lo que ya esperamos. ${\displaystyle \mathbf {E} _{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$

Enfoque vectorial de Hertz

La siguiente es una derivación basada en un trabajo de Wangsness ^[5] y una derivación similar que se encuentra en el capítulo 20 del texto de Zangwill, Modern Electrodynamics. ^[6] La configuración es la siguiente, sea el semiespacio infinito el vacío y el semiespacio infinito un material dieléctrico uniforme e isótropo con susceptibilidad eléctrica . ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle z>0}$ ${\displaystyle \chi .}$

La ecuación de onda electromagnética no homogénea para el campo eléctrico se puede escribir en términos del potencial eléctrico de Hertz , , en el calibre de Lorenz como ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.}$$

El campo eléctrico en términos de los vectores de Hertz se da como pero el vector de Hertz magnético es 0 ya que se supone que el material no es magnetizable y no hay campo magnético externo. Por lo tanto, el campo eléctrico se simplifica a $${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }\right),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }}$ $${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.}$$

Para calcular el campo eléctrico primero debemos resolver la ecuación de onda no homogénea para . Para ello, descomponemos en las soluciones homogéneas y particulares ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,t)={\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)+{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t).}$$

La linealidad entonces nos permite escribir $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t).}$$

La solución homogénea , , es la onda plana inicial que viaja con el vector de onda en la dirección positiva ${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle k_{0}=\omega /c}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}.}$$

No necesitamos buscarlo explícitamente ya que solo nos interesa encontrar el campo. ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)}$

La solución particular, y por lo tanto, , se encuentra utilizando un método de función de Green dependiente del tiempo en la ecuación de onda no homogénea para la cual produce la integral retardada ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}r'{\frac {\mathbf {P} \left(\mathbf {r} ',t-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|/c\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$$

Dado que el campo eléctrico inicial está polarizando el material, el vector de polarización debe tener la misma dependencia espacial y temporal . Wangsness analiza con más detalle esta suposición. Sustituyendo esto en la integral y expresándolo en términos de coordenadas cartesianas, se obtiene ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}.}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dx'\int _{-\infty }^{\infty }dy'{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$$

Primero, considere solo la integración sobre y y convierta esto a coordenadas cilíndricas y llame ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (\rho ,\varphi ,z)}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|=R}$ $${\displaystyle I:=\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}=2\pi \int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}.}$$

Luego, utilizando la sustitución , los límites quedan así : $${\displaystyle R^{2}=\rho ^{2}+\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho \,d\rho =R\,dR}$$ $${\displaystyle \rho ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}}$$ $${\displaystyle \rho =0={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\left|z'-z\right|}$$ $${\displaystyle \rho =\infty ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\infty .}$$

Luego introduzca un factor de convergencia en el integrando, ya que no cambia el valor de la integral, ${\displaystyle e^{-\epsilon R}}$ ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{ik_{0}R}\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{(ik_{0}-\epsilon )R}\\&=\left.2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )R}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\right|_{\left|z'-z\right|}^{\infty }\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }}{ik_{0}-\epsilon }}-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$$

Entonces implica , por lo tanto . Por lo tanto, ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon \infty }=0}$ ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }=\lim _{\epsilon \to 0}e^{ik_{0}\infty }e^{-\epsilon \infty }=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[0-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\\&=-2\pi {\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{k_{0}}}.\end{aligned}}}$$

Ahora, al introducir este resultado en la integral z obtenemos $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)={\frac {i\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{2k_{0}\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}e^{ik_{0}\left|z-z'\right|}}$$

Tenga en cuenta que ahora es solo una función de y no , lo cual se esperaba para la simetría dada. ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Esta integración debe dividirse en dos debido al valor absoluto dentro del integrando. Las regiones son y . Nuevamente, se debe introducir un factor de convergencia para evaluar ambas integrales y el resultado es ${\displaystyle \left|z-z'\right|}$ ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle z>0}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)=-{\frac {\mathbf {P} e^{-i\omega t}}{2\epsilon _{0}k_{0}}}{\begin{cases}{{\frac {1}{k+k_{0}}}e^{-ik_{0}z}}&{z<0}\\{{\frac {2k_{0}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ikz}+{\frac {1}{k-k_{0}}}e^{ik_{0}z}}&{z>0.}\end{cases}}}$$

En lugar de introducir directamente la expresión para el campo eléctrico, se pueden realizar varias simplificaciones. Comience con el rotacional de la identidad del vector rotacional , por lo tanto, ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )-\nabla ^{2}\mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}\\&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} })-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.\end{aligned}}}$$

Observe que debido a que no tiene dependencia y siempre es perpendicular a . Además, observe que el segundo y tercer término son equivalentes a la ecuación de onda no homogénea, por lo tanto, ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle {\mathbf {z} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}{\partial t^{2}}}\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}(-i\omega )^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\\&=k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, el campo total es el cual se convierte en, $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}+k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k+k_{0}}}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{i(kz-\omega t)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$$

Ahora, concentrémonos en el campo dentro del dieléctrico. Usando el hecho de que es complejo, podemos escribir inmediatamente recordemos también que dentro del dieléctrico tenemos . ${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (z>0,t)=\mathbf {E} e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi \mathbf {E} }$

Luego, mediante la comparación de coeficientes, encontramos, y $${\displaystyle e^{i\left(kz-\omega t\right)}\Rightarrow 1=-\chi {\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}}$$ $${\displaystyle e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}\Rightarrow 0=\mathbf {E} _{0}-{\frac {\chi }{2}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}\mathbf {E} .}$$

La primera relación produce rápidamente el vector de onda en el dieléctrico en términos de la onda incidente como $${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\sqrt {1+\chi }}k_{0}\\&=nk_{0}.\end{aligned}}}$$

Usando este resultado y la definición de en la segunda expresión se obtiene el vector de polarización en términos del campo eléctrico incidente como ${\displaystyle \mathbf {P} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} =2\epsilon _{0}(n-1)\mathbf {E} _{0}.}$$

Ambos resultados se pueden sustituir en la expresión del campo eléctrico para obtener la expresión final. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\left({\frac {2}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{i\left(nk_{0}z-\omega t\right)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$$

Este es exactamente el resultado esperado. Solo hay una onda dentro del medio y su velocidad de onda se reduce en n. También se recuperan los coeficientes de reflexión y transmisión esperados.

Longitudes de extinción y pruebas de la relatividad especial

La "longitud de extinción" característica de un medio es la distancia después de la cual se puede decir que la onda original ha sido reemplazada completamente. Para la luz visible, que viaja en el aire al nivel del mar, esta distancia es de aproximadamente 1 mm. ^[7] En el espacio interestelar, la longitud de extinción de la luz es de 2 años luz. ^[8] A frecuencias muy altas, los electrones en el medio no pueden "seguir" la onda original en la oscilación, lo que permite que esa onda viaje mucho más lejos: para rayos gamma de 0,5 MeV, la longitud es de 19 cm de aire y 0,3 mm de Lucite, y para 4,4 GeV, 1,7 m en el aire y 1,4 mm en carbono. ^[9]

La relatividad especial predice que la velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad de la fuente que la emite. Esta predicción, ampliamente aceptada, ha sido puesta a prueba ocasionalmente mediante observaciones astronómicas. ^{[7] [8]} Por ejemplo, en un sistema binario de estrellas, las dos estrellas se mueven en direcciones opuestas, y se podría poner a prueba la predicción analizando su luz. (Véase, por ejemplo, el experimento de la estrella doble De Sitter ). Desafortunadamente, la duración de extinción de la luz en el espacio anula los resultados de cualquier experimento de este tipo que utilice luz visible, especialmente si se tiene en cuenta la espesa nube de gas estacionario que rodea a dichas estrellas. ^[7] Sin embargo, los experimentos que utilizan rayos X emitidos por púlsares binarios, con una duración de extinción mucho mayor, han tenido éxito. ^[8]

Referencias

1. Born, Max ; Wolf, Emil (1999), Principios de óptica (7.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pág. 106, ISBN 9780521784498
2. Lakhtakia, Akhlesh (2017), "El teorema de extinción de Ewald-Oseen y el método de condiciones de contorno extendidas", El teorema de extinción de Ewald-Oseen y el método de condiciones de contorno extendidas, en: The World of Applied Electromagnetics , Cham, Suiza: Springer, págs. 481–513, doi :10.1007/978-3-319-58403-4_19, ISBN 978-3-319-58402-7
3. Mansuripur, Masud (2009), "El teorema de extinción de Ewald-Oseen", Óptica clásica y sus aplicaciones (2.ª ed.) , Cambridge: Cambridge University Press, pág. 209, arXiv : 1507.05234 , doi : 10.1017/CBO9780511803796.019, ISBN 9780511803796
4. Ballenegger, Vincent C.; Weber, TA (1 de julio de 1999). "El teorema de extinción de Ewald-Oseen y las longitudes de extinción". American Journal of Physics . 67 (7): 599–605. doi :10.1119/1.19330. ISSN  0002-9505.
5. Wangsness, Roald K. (1 de octubre de 1981). "Efecto de la materia en la velocidad de fase de una onda electromagnética". American Journal of Physics . 49 (10): 950–953. Bibcode :1981AmJPh..49..950W. doi :10.1119/1.12596. ISSN  0002-9505.
6. Zangwill, Andrew (2013). Electrodinámica moderna . Cambridge University Press. ISBN 9780521896979.
7. Fox, JG (1962), "Evidencia experimental del segundo postulado de la relatividad especial", American Journal of Physics , 30 (1): 297–300, Bibcode :1962AmJPh..30..297F, doi :10.1119/1.1941992.
8. Brecher, K. (1977). "¿Es la velocidad de la luz independiente de la velocidad de la fuente?". Physical Review Letters . 39 (17): 1051–1054. Código Bibliográfico :1977PhRvL..39.1051B. doi :10.1103/PhysRevLett.39.1051.
9. Filippas, TA; Fox, JG (1964). "Velocidad de los rayos gamma de una fuente en movimiento". Physical Review . 135 (4B): B1071–1075. Código Bibliográfico :1964PhRv..135.1071F. doi :10.1103/PhysRev.135.B1071.