Potencial retardado

Tipo de potencial en electrodinámica.

En electrodinámica , los potenciales retardados son los potenciales electromagnéticos del campo electromagnético generados por corrientes eléctricas o distribuciones de carga que varían en el tiempo. Los campos se propagan a la velocidad de la luz c , por lo que el retraso de los campos que conectan causa y efecto en momentos anteriores y posteriores es un factor importante: la señal tarda un tiempo finito en propagarse desde un punto en la distribución de carga o corriente (el punto de causa) a otro punto en el espacio (donde se mide el efecto), consulte la figura siguiente. ^[1]

En el ancho de Lorenz

Vectores de posición r y r′ utilizados en el cálculo

El punto de partida son las ecuaciones de Maxwell en la formulación potencial utilizando el calibre de Lorenz :

${\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

donde φ( r , t ) es el potencial eléctrico y A ( r , t ) es el potencial vectorial magnético , para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ( r , t ) y densidad de corriente J ( r , t ), y es el Operador D'Alembert . ^[2] Al resolverlos se obtienen los siguientes potenciales retardados (todos en unidades SI ). ${\displaystyle \Box }$

Para campos dependientes del tiempo

Para campos dependientes del tiempo, los potenciales retardados son: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

es el tiempo retardado , y d ³ r' es la medida de integración usando r' .

A partir de φ( r , t) y A ( r , t ), los campos E ( r , t ) y B ( r , t ) se pueden calcular usando las definiciones de los potenciales:

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

y esto lleva a las ecuaciones de Jefimenko . Los potenciales avanzados correspondientes tienen una forma idéntica, excepto el tiempo avanzado

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

reemplaza el tiempo retrasado.

En comparación con potenciales estáticos para campos independientes del tiempo.

En el caso de que los campos sean independientes del tiempo ( campos electrostáticos y magnetostáticos ), las derivadas del tiempo en los operadores de los campos son cero y las ecuaciones de Maxwell se reducen a ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}$

donde ∇ ² es el laplaciano , que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (uno para φ y tres para A ), y las soluciones son:

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

Estos también se derivan directamente de los potenciales retardados.

En el ancho de Coulomb

En el calibre de Coulomb , las ecuaciones de Maxwell son ^[5]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

aunque las soluciones contrastan lo anterior, dado que A es un potencial retardado, φ cambia instantáneamente , dado por:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

Esto presenta una ventaja y una desventaja del calibre de Coulomb: φ es fácilmente calculable a partir de la distribución de carga ρ pero A no es tan fácilmente calculable a partir de la distribución actual j . Sin embargo, siempre que requiramos que los potenciales desaparezcan en el infinito, se pueden expresar claramente en términos de campos:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

En gravedad linealizada

El potencial retardado en la relatividad general linealizada es muy análogo al caso electromagnético. El tensor de traza invertida desempeña el papel del potencial de cuatro vectores, el calibre armónico reemplaza al calibre electromagnético de Lorenz, las ecuaciones de campo son y la solución de onda retardada es ^[6] ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.}$$

${\displaystyle c^{4}}$

Ocurrencia y aplicación

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de potenciales de Liénard-Wiechert avanzados y retardados es la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman, también conocida como teoría simétrica en el tiempo de Wheeler-Feynman.

Ejemplo

El potencial de una carga con velocidad uniforme en línea recta tiene inversión en un punto que se encuentra en la posición reciente. El potencial no cambia en la dirección del movimiento. ^[7]

Ver también

• ecuaciones de maxwell
• Potencial de Liénard-Wiechert
• ley de lenz

Referencias

1. Rohrlich, F (1993). "Potenciales". En Parker, SP (ed.). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2ª ed.). Nueva York. pag. 1072.ISBN​ 0-07-051400-3.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Garg, A., Electromagnetismo clásico en pocas palabras , 2012, p. 129
3. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
4. Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
5. Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
6. Sean M. Carroll, "Notas de conferencias sobre relatividad general" (arXiv:gr-qc/9712019), ecuaciones 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
7. Feynman, Conferencia 26, Transformaciones de los campos de Lorentz