Extensión conservadora

En lógica matemática , una extensión conservadora es una superteoría de una teoría que a menudo es conveniente para demostrar teoremas , pero no prueba nuevos teoremas sobre el lenguaje de la teoría original. De manera similar, una extensión no conservadora es una superteoría que no es conservadora y puede probar más teoremas que la original.

Dicho más formalmente, una teoría es una extensión conservadora ( teórica de prueba ) de una teoría si cada teorema de es un teorema de , y cualquier teorema de en el lenguaje de ya es un teorema de . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

De manera más general, si es un conjunto de fórmulas en el lenguaje común de y , entonces es conservador si cada fórmula de demostrable en también lo es en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Tenga en cuenta que una extensión conservadora de una teoría consistente es consistente. Si no fuera así, entonces, según el principio de explosión , cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que no sería consistente. Por tanto, las extensiones conservadoras no corren el riesgo de introducir nuevas inconsistencias. Esto también puede verse como una metodología para escribir y estructurar grandes teorías: comenzar con una teoría que se sabe (o se supone) que es consistente y construir sucesivamente extensiones conservadoras de la misma. ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Recientemente, se han utilizado extensiones conservadoras para definir una noción de módulo para ontologías ^{[ cita necesaria ]} : si una ontología se formaliza como una teoría lógica, una subteoría es un módulo si toda la ontología es una extensión conservadora de la subteoría.

Una extensión que no es conservadora puede denominarse extensión propia .

Ejemplos

• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$, un subsistema de aritmética de segundo orden estudiado en matemáticas inversas , es una extensión conservadora de la aritmética de Peano de primer orden .
• Los subsistemas de aritmética de segundo orden y son conservadores . ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {EFA}}}$
• El subsistema es una extensión conservadora de y un conservador superior ( aritmética recursiva primitiva ). ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel ( ) es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ). ${\displaystyle {\mathsf {NBG}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• La teoría de conjuntos internos es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• Las extensiones por definiciones son conservadoras.
• Las extensiones mediante símbolos de función o predicado sin restricciones son conservadoras.
• ${\displaystyle I\Sigma _{1}}$(un subsistema de la aritmética de Peano con inducción solo para fórmulas ) es una extensión conservadora de . ^[2] ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$es una extensión conservadora del teorema de absolutidad de Shoenfield . ${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$con la hipótesis del continuo es una extensión conservadora de . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Extensión conservadora de la teoría del modelo

Con medios de teoría de modelos , se obtiene una noción más fuerte: una extensión de una teoría es teóricamente conservadora si y cada modelo de puede expandirse a un modelo de . Cada extensión conservadora de la teoría del modelo también es una extensión conservadora (de la teoría de la prueba) en el sentido anterior. ^[3] La noción teórica de modelo tiene la ventaja sobre la teoría de prueba de que no depende tanto del lenguaje en cuestión; por otro lado, suele ser más difícil establecer la conservatividad de la teoría de modelos. ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Ver también

• Extensión por definiciones
• Extensión por nuevos nombres de constantes y funciones

Referencias

1. SG Simpson, RL Smith, "Factorización de polinomios e inducción Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}" (1986). Anales de lógica pura y aplicada, vol. 31 (p.305)
2. Fernando Ferreira, Una prueba simple del teorema de Parsons. Revista de lógica formal de Notre Dame, Vol.46, No.1, 2005.
3. Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría del modelo más breve . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 58 ejercicio 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

enlaces externos

• La importancia de las extensiones conservadoras para los fundamentos de las matemáticas.