En lógica matemática , una teoría puede extenderse con nuevas constantes o nombres de funciones bajo ciertas condiciones con la seguridad de que la extensión no introducirá ninguna contradicción. La extensión por definiciones es quizás el enfoque más conocido, pero requiere la existencia única de un objeto con la propiedad deseada. La adición de nuevos nombres también se puede realizar de manera segura sin unicidad.
Supongamos que una fórmula cerrada
es un teorema de una teoría de primer orden . Sea una teoría obtenida a partir de la extensión de su lenguaje con nuevas constantes
y añadiendo un nuevo axioma
Entonces es una extensión conservadora de , lo que significa que la teoría tiene el mismo conjunto de teoremas en el lenguaje original (es decir, sin constantes ) que la teoría .
Esta teoría también puede ampliarse de forma conservadora introduciendo un nuevo símbolo funcional : [1]
Supongamos que una fórmula cerrada es un teorema de una teoría de primer orden , donde denotamos . Sea una teoría obtenida a partir de extendiendo su lenguaje con un nuevo símbolo funcional (de aridad ) y añadiendo un nuevo axioma . Entonces es una extensión conservativa de , es decir, las teorías y demuestran los mismos teoremas que no involucran el símbolo funcional ).
Shoenfield enuncia el teorema en la forma de un nuevo nombre de función, y las constantes son las mismas que las funciones de argumentos cero. En sistemas formales que admiten tuplas ordenadas, la extensión por múltiples constantes como se muestra aquí se puede lograr mediante la adición de una nueva tupla de constantes y los nuevos nombres de constantes que tienen los valores de los elementos de la tupla.
