Números naturales extendidos

En matemáticas , los números naturales extendidos son un conjunto que contiene los valores y (infinito). Es decir, es el resultado de sumar un elemento máximo a los números naturales . La suma y la multiplicación funcionan de manera normal para valores finitos y se extienden por las reglas ( ), y para . ${\displaystyle 0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle n+\infty =\infty +n=\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0\times \infty =\infty \times 0=0}$ ${\displaystyle m\times \infty =\infty \times m=\infty }$ ${\displaystyle m\neq 0}$

Con la adición y la multiplicación, es un semianillo pero no un anillo , ya que carece de un inverso aditivo . ^[1] El conjunto se puede denotar por , o . ^{[2] [3] [4]} Es un subconjunto de la línea de números reales extendida , que extiende los números reales sumando y . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {N} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\infty }}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Aplicaciones

En teoría de grafos , los números naturales extendidos se utilizan para definir distancias en grafos , siendo α la distancia entre dos vértices no conectados . ^[2] Se pueden utilizar para mostrar la extensión de algunos resultados, como el teorema de flujo máximo y corte mínimo , a grafos infinitos. ^[5] ${\displaystyle \infty }$

En topología , el topos de acciones correctas sobre los números naturales extendidos es una categoría PRO de las álgebras de proyección . ^[4]

En matemáticas constructivas , los números naturales extendidos son una compactificación de un punto de los números naturales, produciendo el conjunto de secuencias binarias no crecientes , es decir, tales que . La secuencia representa , mientras que la secuencia representa . Es una retractación de y la afirmación que implica el principio limitado de omnisciencia . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots )\in 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} :x_{i}\geq x_{i+1}}$ ${\displaystyle 1^{n}0^{\omega }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1^{\omega }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}\subseteq \mathbb {N} _{\infty }}$

Notas

1. Sakarovitch (2009), pág. 28.
2. Koch (2020).
3. Escardó (2013).
4. Khanjanzadeh y Madanshekaf (2018).
5. Folkman y Fulkerson (1970).

Referencias

• Folkman, Jon ; Fulkerson, DR (1970). "Flujos en grafos infinitos". Revista de teoría combinatoria . 8 (1). doi : 10.1016/S0021-9800(70)80006-0 .
• Escardó, Martín H (2013). "Conjuntos infinitos que satisfacen el principio de omnisciencia en cualquier variedad de matemáticas constructivas". Revista de lógica simbólica . 78 (3).
• Koch, Sebastian (2020). "Números naturales extendidos y contadores" (PDF) . Matemáticas formalizadas . 28 (3).
• Khanjanzadeh, Zeinab; Madanshekaf, Ali (2018). "Topología ideal débil en el topo de actos rectos sobre un monoide". Communications in Algebra . 46 (5).
• Sakarovitch, Jacques (2009). Elementos de la teoría de autómatas . Traducido del francés por Reuben Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84425-3.Zbl1188.68177  .​

Lectura adicional

• Robert, Leonel (3 de septiembre de 2013). "El semigrupo de Cuntz de algunos espacios de dimensión dos como máximo". arXiv : 0711.4396 .
• Lightstone, AH (1972). "Infinitesimales". The American Mathematical Monthly . 79 (3).
• Khanjanzadeh, Zeinab; Madanshekaf, Ali (2019). "Sobre álgebras de proyección". Boletín de Matemáticas del Sudeste Asiático . 43 (2).

Enlaces externos

• Número natural extendido en el laboratorio n