Flujo de Taylor-Couette

Medición de la viscosidad en dinámica de fluidos

Configuración de un sistema Taylor-Couette

En dinámica de fluidos , el flujo de Taylor-Couette consiste en un fluido viscoso confinado en el espacio entre dos cilindros giratorios. Para velocidades angulares bajas, medidas por el número de Reynolds Re , el flujo es constante y puramente azimutal . Este estado básico se conoce como flujo circular de Couette , en honor a Maurice Marie Alfred Couette , quien utilizó este dispositivo experimental como medio para medir la viscosidad . Sir Geoffrey Ingram Taylor investigó la estabilidad del flujo de Couette en un artículo innovador. ^[1] El artículo de Taylor se convirtió en una piedra angular en el desarrollo de la teoría de la estabilidad hidrodinámica y demostró que la condición de no deslizamiento , que estaba en disputa por la comunidad científica en ese momento, era la condición límite correcta para los flujos viscosos en un límite sólido.

Taylor demostró que cuando la velocidad angular del cilindro interior se incrementa por encima de un cierto umbral, el flujo de Couette se vuelve inestable y surge un estado estacionario secundario caracterizado por vórtices toroidales axisimétricos, conocido como flujo de vórtice de Taylor . Posteriormente, al aumentar la velocidad angular del cilindro, el sistema sufre una progresión de inestabilidades que conducen a estados con mayor complejidad espacio-temporal, siendo el siguiente estado llamado flujo de vórtice ondulado . Si los dos cilindros giran en sentido opuesto, surge el flujo de vórtice espiral . Más allá de un cierto número de Reynolds se produce el inicio de la turbulencia .

El flujo circular de Couette tiene amplias aplicaciones que van desde la desalinización hasta la magnetohidrodinámica y también en el análisis viscosimétrico. A lo largo de los años se han clasificado diferentes regímenes de flujo, incluidos los vórtices de Taylor retorcidos y los límites de flujo de salida ondulados. Ha sido un flujo bien investigado y documentado en dinámica de fluidos. ^[2]

Descripción del flujo

Un flujo de Taylor-Couette simple es un flujo constante creado entre dos cilindros coaxiales giratorios de longitud infinita. ^[3] Dado que las longitudes de los cilindros son infinitamente largas, el flujo es esencialmente unidireccional en estado constante. Si el cilindro interior con radio está girando a una velocidad angular constante y el cilindro exterior con radio está girando a una velocidad angular constante como se muestra en la figura, entonces el componente de velocidad azimutal está dado por ^[4] ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}$

Criterio de Rayleigh

Lord Rayleigh ^{[5] [6]} estudió la estabilidad del problema con el supuesto de no viscosidad, es decir, perturbando las ecuaciones de Euler . El criterio establece que en ausencia de viscosidad, la condición necesaria y suficiente para que la distribución de la velocidad azimutal sea estable es ${\displaystyle v_{\theta }(r)}$^[7]

${\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

en todas partes en el intervalo; y, además, que la distribución es inestable si disminuye en cualquier parte del intervalo. ${\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$ Dado que representa el momento angular por unidad de masa de un elemento fluido sobre el eje de rotación, una forma alternativa de enunciar el criterio es: una estratificación del momento angular sobre un eje es estable si y solo si aumenta monótonamente hacia afuera. ${\displaystyle |rv_{\theta }|}$

La aplicación de este criterio al flujo de Taylor-Couette indica que el flujo es estable si , es decir, para la estabilidad, el cilindro exterior debe girar (en el mismo sentido) con una velocidad angular mayor que - veces la del cilindro interior. El criterio de Rayleigh se viola ( ) en todo el fluido cuando . Por otro lado, cuando los cilindros giran en direcciones opuestas, es decir, cuando , el criterio de Rayleigh se viola solo en la región interior, es decir, para donde . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \eta ^{2}}$ ${\displaystyle \Phi <0}$ ${\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle \Phi (r)<0}$ ${\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}}$ ${\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}$

Criterio de Taylor

En un trabajo seminal, GI Taylor encontró el criterio de inestabilidad en presencia de fuerzas viscosas tanto experimental como teóricamente. En general, se ha descubierto que las fuerzas viscosas posponen la aparición de inestabilidad, predicha por el criterio de Rayleigh. La estabilidad se caracteriza por tres parámetros, a saber, y un número de Taylor. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.}$

El primer resultado se refiere al hecho de que el flujo es estable para , de acuerdo con el criterio de Rayleigh. Sin embargo, también hay casos estables en cierto rango paramétrico para . ${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$ ${\displaystyle \mu <\eta ^{2}}$

Taylor obtuvo un criterio explícito para el espacio angosto en el que el espacio anular es pequeño en comparación con el radio medio , o en otras palabras, . Una mejor definición del número de Taylor en la aproximación de espacio angosto es ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$ ${\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2}$ ${\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}$

En términos de este número de Taylor, se encontró que la condición crítica para la rotación en el mismo sentido era

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}$

Como , el número crítico de Taylor está dado por ${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}$

Vórtice de Taylor

Líneas de corriente que muestran vórtices de Taylor-Couette en el plano radial-vertical, en Re = 950

Los vórtices de Taylor (también llamados así por Sir Geoffrey Ingram Taylor ) son vórtices que se forman en el flujo de Taylor-Couette rotatorio cuando el número de Taylor ( ) del flujo excede un valor crítico . ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$

Para el flujo en el que

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

no hay inestabilidades en el flujo, es decir, las perturbaciones del flujo se amortiguan por fuerzas viscosas y el flujo es constante. Pero, a medida que se excede , aparecen inestabilidades axisimétricas. La naturaleza de estas inestabilidades es la de un intercambio de estabilidades (en lugar de una sobreestabilidad), y el resultado no es turbulencia sino más bien un patrón de flujo secundario estable que surge en el que se forman grandes vórtices toroidales en el flujo, apilados uno sobre el otro. Estos son los vórtices de Taylor. Mientras que la mecánica de fluidos del flujo original es inestable cuando , el nuevo flujo, llamado flujo de Taylor-Couette , con los vórtices de Taylor presentes, es en realidad constante hasta que el flujo alcanza un gran número de Reynolds , en cuyo punto el flujo pasa a un flujo inestable de "vórtice ondulado", lo que presumiblemente indica la presencia de inestabilidades no axisimétricas. ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$

El problema matemático idealizado se plantea eligiendo un valor particular de , , y . Como y a partir de abajo, el número crítico de Taylor es ^{[4] [8] [9] [10] [11]} ⁠⁠ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ ${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mu \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$

Experimento circular de Couette de Gollub-Swinney

En 1975, JP Gollub y HL Swinney publicaron un artículo sobre el inicio de la turbulencia en un fluido rotatorio. En un sistema de flujo de Taylor-Couette, observaron que, a medida que aumenta la tasa de rotación, el fluido se estratifica en una pila de "rosquillas de fluido". Con mayores aumentos en la tasa de rotación, las rosquillas oscilan y se retuercen y finalmente se vuelven turbulentas. ^[12] Su estudio ayudó a establecer el escenario de Ruelle-Takens en turbulencia, ^[13] que es una importante contribución de Floris Takens y David Ruelle para comprender cómo los sistemas hidrodinámicos pasan de patrones de flujo estables a turbulentos. Si bien el factor principal que rige esta transición es el número de Reynolds , existen otros factores influyentes importantes: si el flujo es abierto (lo que significa que hay un flujo lateral ascendente y descendente) o cerrado (el flujo está limitado lateralmente; por ejemplo, rotatorio), y limitado (influenciado por efectos de pared) o ilimitado (no influenciado por efectos de pared). Según esta clasificación, el flujo de Taylor-Couette es un ejemplo de un patrón de flujo que se forma en un sistema de flujo cerrado y delimitado.

Referencias

1. Taylor, Geoffrey I. (1923). "Estabilidad de un líquido viscoso contenido entre dos cilindros giratorios". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico. 223 (605–615): 289–343. Bibcode :1923RSPTA.223..289T. doi : 10.1098/rsta.1923.0008 . JSTOR  91148.
2. Andereck, CD; Liu, SS; Swinney, HL (1986). "Regímenes de flujo en un sistema Couette circular con cilindros que rotan independientemente". Journal of Fluid Mechanics . 164 : 155–183. Bibcode :1986JFM...164..155A. doi :10.1017/S0022112086002513. S2CID  122768769.
3. Drazin, Philip G .; Reid, William Hill (2004). Estabilidad hidrodinámica . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-52541-1.
4. Davey (1962). "El crecimiento de los vórtices de Taylor en el flujo entre cilindros rotatorios". Revista de mecánica de fluidos . 14 (3): 336–368. doi :10.1017/S0022112062001287. S2CID  122884625.
5. Rayleigh, Lord. "Sobre la estabilidad o inestabilidad de ciertos movimientos de fluidos. Scientific Papers, 3." (1880): 594-596.
6. Rayleigh, Lord. "Sobre la dinámica de fluidos en movimiento". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico 93.648 (1917): 148-154.
7. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética. Courier Corporation, 2013.
8. Weisberg, AY; Kevrekidis, IG ; Smits, AJ (1997). "Retraso de la transición en el flujo de Taylor-Couette con movimiento axial del cilindro interior". Journal of Fluid Mechanics . 348 : 141–151. doi :10.1017/S0022112097006630. S2CID  49329964.
9. Takeda, Y. (1999). "Estado cuasiperiódico y transición a la turbulencia en un sistema Couette giratorio". Journal of Fluid Mechanics . 389 (1): 81–99. Bibcode :1999JFM...389...81T. doi :10.1017/S0022112099005091. S2CID  4842053.
10. Wereley, ST; Lueptow, RM (1999). "Campo de velocidad para el flujo de Taylor-Couette con un flujo axial". Física de fluidos . 11 (12): 3637–3649. Bibcode :1999PhFl...11.3637W. doi :10.1063/1.870228.
11. Marques, F.; Lopez, JM; Shen, J. (2001). "Un flujo forzado periódicamente que muestra una ruptura de simetría a través de una bifurcación de pegado de tres toros y resonancias de dos toros". Physica D: Nonlinear Phenomena . 156 (1–2): 81–97. Bibcode :2001PhyD..156...81M. CiteSeerX 10.1.1.23.8712 . doi :10.1016/S0167-2789(01)00261-5. 
12. Gollub, JP; Swinney, HL (1975). "Inicio de la turbulencia en un fluido rotatorio". Physical Review Letters . 35 (14): 927–930. Código Bibliográfico :1975PhRvL..35..927G. doi :10.1103/PhysRevLett.35.927.
13. Guckenheimer, John (1983). "Atractores extraños en dinámica de fluidos". Sistema dinámico y caos . Apuntes de clase de física. Vol. 179. Springer Berlin. págs. 149-156. doi :10.1007/3-540-12276-1_10. ISBN. 978-3-540-12276-0.

Lectura adicional

• Chossat, P.; Iooss, G. (1992). El problema de Couette-Taylor . Applied Mathematical Sciences. Vol. 102. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-4300-7. ISBN . 978-0387941547.
• Koschmieder, EL (1993). Células de Bénard y vórtices de Taylor . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40204-0.