Escalares ópticos

En la relatividad general , los escalares ópticos se refieren a un conjunto de tres funciones escalares (expansión), (corte) y (giro/rotación/vorticidad) que describen la propagación de una congruencia nula geodésica . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ ${\displaystyle \}}$

De hecho, estos tres escalares pueden definirse tanto para congruencias geodésicas temporales como nulas con el mismo espíritu, pero se denominan "escalares ópticos" sólo para el caso nulo. Además, son sus predecesores tensoriales los que se adoptan en las ecuaciones tensoriales, mientras que los escalares aparecen principalmente en ecuaciones escritas en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose . ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$

Definiciones: expansión, corte y torsión.

Para congruencias temporales geodésicas

Denotemos el campo vectorial tangente de la línea mundial de un observador (en una congruencia temporal ) como , y luego se podrían construir "métricas espaciales" inducidas que ${\displaystyle Z^{a}}$

${\displaystyle (1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,}$

donde funciona como un operador de proyección espacial. Se utiliza para proyectar la derivada covariante de coordenadas y se obtiene el tensor auxiliar "espacial" , ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{b}Z_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$

${\displaystyle (2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^{c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\;,}$

donde representa las cuatro aceleraciones, y es puramente espacial en el sentido de que . Específicamente para un observador con una línea temporal geodésica, tenemos ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$

${\displaystyle (3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.}$

Ahora descompóngalo en sus partes simétricas y antisimétricas y , ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle \omega _{ab}}$

${\displaystyle (4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

${\displaystyle \omega _{ab}=B_{[ab]}}$no tiene rastro ( ) mientras que tiene un rastro distinto de cero . Por lo tanto, la parte simétrica se puede reescribir aún más en su parte con traza y sin traza, ${\displaystyle g^{ab}\omega _{ab}=0}$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$ ${\displaystyle g^{ab}\theta _{ab}=\theta }$ ${\displaystyle \theta _{ab}}$

${\displaystyle (5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.}$

Por lo tanto, en total tenemos

${\displaystyle (6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

Para congruencias nulas geodésicas

Ahora, considere una congruencia nula geodésica con un campo vectorial tangente . De manera similar a la situación temporal, también definimos ${\displaystyle k^{a}}$

${\displaystyle (7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,}$

que se puede descomponer en

${\displaystyle (8)\quad {\hat {B}}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,}$

dónde

${\displaystyle (9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={\hat {B}}_{[ab]}\;.}$

Aquí, se utilizan cantidades "sombradas" para enfatizar que estas cantidades para congruencias nulas son bidimensionales en contraposición al caso temporal tridimensional. Sin embargo, si en un artículo solo analizamos congruencias nulas, los sombreros se pueden omitir por simplicidad.

Definiciones: escalares ópticos para congruencias nulas

Los escalares ópticos ^{[1] [2] [3] [4] [5]} provienen directamente de la "escalarización" de los tensores en la ecuación (9). ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$

La expansión de una congruencia nula geodésica se define por (donde, para mayor claridad, adoptaremos otro símbolo estándar " " para indicar la derivada covariante ) ${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \nabla _{a}}$

${\displaystyle (10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.}$

Comparación con las "tasas de expansión de una congruencia nula": como se muestra en el artículo "Tasa de expansión de una congruencia nula", las tasas de expansión saliente y entrante, denotadas por y respectivamente, se definen por ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a}n_{b}\;,}$

donde representa la métrica inducida. Además, y se puede calcular mediante ${\displaystyle h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}}$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,}$

${\displaystyle (A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,}$

donde y son respectivamente los coeficientes de no afinidad saliente y entrante definidos por ${\displaystyle \kappa _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \kappa _{(n)}}$

${\displaystyle (A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{(\ell )}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.}$

Además, en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose con la convención , tenemos ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle (A.7)\quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

Como podemos ver, para una congruencia nula geodésica, el escalar óptico juega el mismo papel con las tasas de expansión y . Por lo tanto, para una congruencia nula geodésica, será igual a o . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$ ${\displaystyle \theta _{(n)}}$

El corte de una congruencia nula geodésica se define por

${\displaystyle (11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}={\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta }}^{2}\;.}$

El giro de una congruencia nula geodésica se define por

${\displaystyle (12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.}$

En la práctica, una congruencia nula geodésica generalmente se define por su campo vectorial tangente saliente ( ) o entrante ( ) (que también son sus normales nulas). Así, obtenemos dos conjuntos de escalares ópticos y , que están definidos con respecto a y , respectivamente. ${\displaystyle k^{a}=l^{a}}$ ${\displaystyle k^{a}=n^{a}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

Aplicaciones en la descomposición de las ecuaciones de propagación.

Por una congruencia temporal geodésica

La propagación (o evolución) de una congruencia temporal geodésica respeta la siguiente ecuación, ${\displaystyle B_{ab}}$ ${\displaystyle Z^{c}}$

${\displaystyle (13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d}\;.}$

Tome la traza de la ecuación (13) contrayéndola con , y la ecuación (13) se convierte en ${\displaystyle g^{ab}}$

${\displaystyle (14)\quad Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}}$

en términos de las cantidades en la ecuación (6). Además, la parte simétrica y sin trazas de la ecuación (13) es

${\displaystyle (15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\,(\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.}$

Finalmente, el componente antisimétrico de la ecuación (13) produce

${\displaystyle (16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _{\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.}$

Para una congruencia nula geodésica

Una congruencia nula geodésica (genérica) obedece a la siguiente ecuación de propagación,

${\displaystyle (16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c}{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.}$

Con las definiciones resumidas en la ecuación (9), la ecuación (14) podría reescribirse en las siguientes ecuaciones componentes,

${\displaystyle (17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (18)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega }}_{ab}\;.}$

Para una congruencia nula geodésica restringida

Para una congruencia nula geodésica restringida a una hipersuperficie nula, tenemos

${\displaystyle (20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,}$

${\displaystyle (21)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,}$

${\displaystyle (22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.}$

Coeficientes de espín, ecuación de Raychaudhuri y escalares ópticos.

Para comprender mejor la sección anterior, revisaremos brevemente los significados de los coeficientes de espín NP relevantes al representar congruencias nulas . ^[1] La forma tensorial de la ecuación de Raychaudhuri ^[6] que rige los flujos nulos dice

${\displaystyle (23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

donde se define tal que . Las cantidades en la ecuación de Raychaudhuri están relacionadas con los coeficientes de espín mediante ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (24)\quad \theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

donde la ecuación (24) se sigue directamente de y ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

Ver también

• Ecuación de Raychaudhari
• Congruencia (relatividad general)

Referencias

1. Eric Poisson. Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Capítulo 2.
2. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Capítulo 6.
3. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Oxford University Press, 1998. Sección 9.(a).
4. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempo exacto en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Sección 2.1.3.
5. P Schneider, J Ehlers, EE Falco. Lentes gravitacionales . Berlín: Springer, 1999. Sección 3.4.2.
6. Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve reseña . Pramana, 2007, 69 (1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc/0611123]