método de lámina

Mnemónico para encontrar el producto de dos funciones binomiales

En álgebra elemental , FOIL es un mnemotécnico para el método estándar de multiplicar dos binomios ^[1] ; de ahí que el método pueda denominarse método FOIL . La palabra FOIL es un acrónimo de los cuatro términos del producto:

• Primero (los "primeros" términos de cada binomio se multiplican entre sí)
• O uter (los términos "externos" se multiplican, es decir, el primer término del primer binomio y el segundo término del segundo)
• Interior (los términos "internos" se multiplican: segundo término del primer binomio y primer término del segundo)
• L ast (los últimos términos de cada binomio se multiplican)

La forma general es

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

Tenga en cuenta que a es tanto un "primer" término como un término "externo"; b es a la vez un término "último" y "interno", y así sucesivamente. El orden de los cuatro términos en la suma no es importante y no es necesario que coincida con el orden de las letras en la palabra FOIL.

Historia

El método FOIL es un caso especial de un método más general para multiplicar expresiones algebraicas utilizando la ley distributiva . La palabra FOIL originalmente fue pensada únicamente como un mnemotécnico para estudiantes de secundaria que aprenden álgebra. El término aparece en el texto Algebra for Today de William Betz de 1929 , donde afirma: ^[2]

... primeros términos, términos externos, términos internos, últimos términos. (La regla establecida anteriormente también puede recordarse con la palabra FOIL, sugerida por las primeras letras de las palabras primero, exterior, interior y último).

William Betz participó activamente en el movimiento para reformar las matemáticas en los Estados Unidos en ese momento, había escrito muchos textos sobre temas de matemáticas elementales y había "dedicado su vida a la mejora de la educación matemática". ^[3]

Muchos estudiantes y educadores en los EE. UU. utilizan ahora la palabra "FOIL" como verbo que significa "expandir el producto de dos binomios". ^[4]

Ejemplos

El método se utiliza más comúnmente para multiplicar binomios lineales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Si cualquiera de los binomios implica resta , los términos correspondientes deben negarse . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

La ley distributiva

El método FOIL es equivalente a un proceso de dos pasos que involucra la ley distributiva: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

En el primer paso, ( c + d ) se distribuye sobre la suma en el primer binomio. En el segundo paso, se utiliza la ley distributiva para simplificar cada uno de los dos términos. Tenga en cuenta que este proceso implica un total de tres aplicaciones de la propiedad distributiva. A diferencia del método FOIL, el método que utiliza la distributividad se puede aplicar fácilmente a productos con más términos, como trinomios y superiores.

LÁMINA inversa

La regla FOIL convierte un producto de dos binomios en una suma de cuatro (o menos, si luego se combinan términos similares ) monomios . ^[6] El proceso inverso se llama factorización o factorización . En particular, si la prueba anterior se lee al revés, ilustra la técnica llamada factorización por agrupación .

Mesa como alternativa a FOIL

Una herramienta de memoria visual puede reemplazar la mnemónica FOIL para un par de polinomios con cualquier número de términos. Haz una tabla con los términos del primer polinomio en el borde izquierdo y los términos del segundo en el borde superior, luego completa la tabla con productos de multiplicación. La tabla equivalente a la regla FOIL se ve así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

En el caso de que se trate de polinomios, ( ax + b )( cx + d ) , los términos de un grado determinado se encuentran sumando a lo largo de las antidiagonales :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

entonces ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Para multiplicar ( a + b + c )( w + x + y + z ) , la tabla quedaría como sigue:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

La suma de las entradas de la tabla es el producto de los polinomios. De este modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

De manera similar, para multiplicar ( ax ² + bx + c )( dx ³ + ex ² + fx + g ) , se escribe la misma tabla:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}$

y sumas a lo largo de antidiagonales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

Generalizaciones

La regla FOIL no se puede aplicar directamente a productos expansivos con más de dos multiplicandos o a multiplicandos con más de dos sumandos. Sin embargo, la aplicación de la ley asociativa y el frustrado recursivo permiten expandir dichos productos. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Los métodos alternativos basados ​​en la distribución renuncian al uso de la regla FOIL, pero pueden ser más fáciles de recordar y aplicar. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

Ver también

• Teorema del binomio
• Factorización

Referencias

1. "Simplificando el uso de las lecciones del método FOIL" . Consultado el 10 de mayo de 2018 .
2. Betz, William (1929), Álgebra para hoy (vol. 1) , Ginn and Company, p. 291.
3. WDR (noviembre de 1937), "Revisión de álgebra actual: primer año", The Mathematics Teacher , 30 (7), Consejo Nacional para la Enseñanza de las Matemáticas: 348.
4. McCrea, Emma (1 de mayo de 2019). Hacer que cada lección de matemáticas cuente: Seis principios para respaldar una excelente enseñanza de las matemáticas (serie Hacer que cada lección cuente). Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.
5. Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). Hermoso, simple, exacto, loco: matemáticas en el mundo real. Prensa de la Universidad de Yale. pag. 3.ISBN​ 978-0-300-19089-2. A esto a veces se le llama método "FOIL"; esencialmente, es simplemente la ley distributiva aplicada dos veces..
6. Kirkland, Carla C.; Cleveland, Chan (29 de enero de 2020). Praxis Core para principiantes con pruebas de práctica en línea. John Wiley e hijos. pag. 78.ISBN​ 978-1-119-62047-1. ... FOIL inverso puede llevarlo en la dirección opuesta desde una expresión hasta expresiones de dos términos multiplicadas entre sí. Es una forma de factoraje.

Otras lecturas

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Esquema de la teoría y problemas de álgebra intermedia de Schaum . Serie de esquemas de Schaum. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.