Eventos colectivamente exhaustivos

En teoría y lógica de la probabilidad , un conjunto de eventos es conjunta o colectivamente exhaustivo si al menos uno de los eventos debe ocurrir. Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras , los eventos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 bolas de un único resultado son colectivamente exhaustivos, porque abarcan toda la gama de resultados posibles.

Otra forma de describir eventos colectivamente exhaustivos es que su unión debe cubrir todos los eventos dentro de todo el espacio muestral. Por ejemplo, se dice que los eventos A y B son colectivamente exhaustivos si

${\displaystyle A\cup B=S}$

donde S es el espacio muestral .

Compare esto con el concepto de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes . En tal conjunto no puede ocurrir más de un evento en un momento dado. (En algunas formas de exclusión mutua sólo puede ocurrir un evento.) El conjunto de todas las tiradas de dados posibles es a la vez mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo (es decir, " MECE "). Los eventos 1 y 6 son mutuamente excluyentes pero no exhaustivos colectivamente. Los eventos "par" (2,4 o 6) y "no-6" (1,2,3,4 o 5) también son colectivamente exhaustivos pero no mutuamente excluyentes. En algunas formas de exclusión mutua sólo puede ocurrir un evento, ya sea colectivamente exhaustivo o no. Por ejemplo, no se puede repetir el lanzamiento de una determinada galleta a un grupo de varios perros, sin importar cuál perro la muerda.

Un ejemplo de un evento que es colectivamente exhaustivo y mutuamente excluyente es lanzar una moneda. El resultado debe ser cara o cruz, o p (cara o cruz) = 1, por lo que los resultados son colectivamente exhaustivos. Cuando ocurre cara, no puede ocurrir cruz, o p (cara y cruz) = 0, por lo que los resultados también son mutuamente excluyentes.

Otro ejemplo de eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes al mismo tiempo es el evento "par" (2,4 o 6) y el evento "impar" (1,3 o 5) en un experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras . Ambos eventos son mutuamente excluyentes porque el resultado par e impar nunca pueden ocurrir al mismo tiempo. La unión de eventos "pares" e "impares" proporciona un espacio muestral para tirar el dado, por lo que son colectivamente exhaustivos.

Historia

El término "exhaustivo" se ha utilizado en la literatura desde al menos 1914. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Lo siguiente aparece como nota a pie de página en la página 23 del texto de Couturat, El álgebra de la lógica (1914): ^[1]

"Como bien ha observado la Sra. LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Diccionario de Filosofía y Psicología, artículo "Leyes del Pensamiento" ^[2] ), el principio de contradicción no es suficiente para definir los contradictorios; debe agregarse el principio del tercero excluido, que merece igualmente el nombre de principio de contradicción. Por eso la señora LADD-FRANKLIN propone llamarlos respectivamente principio de exclusión y principio de agotamiento , en la medida en que, según el primero, dos términos contradictorios son excluyentes (el del. otros); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso) ". (cursiva agregada para énfasis)

En la discusión de Stephen Kleene sobre los números cardinales , en Introducción a las metamatemáticas (1952), utiliza el término "mutuamente excluyente" junto con "exhaustivo": ^[3]

"Por lo tanto, para dos cardinales cualesquiera M y N, las tres relaciones M < N, M = N y M > N son 'mutuamente excluyentes', es decir, no se pueden mantener más de una de ellas. ¶ No aparece hasta una etapa avanzada de la teoría . (cursiva agregada para énfasis, Kleene 1952:11; el original tiene barras dobles sobre los símbolos M y N).

Ver también

• Estructura del evento
• principio MECE
• Teoría de probabilidad
• Teoría de conjuntos

Referencias

1. Costurat, Louis (1914). El álgebra de la lógica . Traducido por Lydia Gillingham Robinson. Chicago y Londres: The Open Court Publishing Company.
2. Baldwin (1914). "Leyes del pensamiento". Diccionario de Filosofía y Psicología . pag. 23.
3. Kleene, Stephen C. (1952). Introducción a las Metamatemáticas (6ª edición 1971 ed.). Amsterdam, Nueva York: Compañía editorial de Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-2103-9.

Fuentes adicionales

• Kemeny, John G.; et al. (1959). Estructuras matemáticas finitas . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ASIN  B0006AW17Y.LCCCN: 59-12841
• Tarski, Alfred (1941). Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas (Reimpresión de 1946, segunda edición (rústica) ed.). Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-28462-X.