Interferómetro Fabry-Pérot

Dispositivo óptico con espejos paralelos.

Franjas de interferencia, que muestran una estructura fina , de un etalón de Fabry-Pérot. La fuente es una lámpara de deuterio enfriada .

En óptica , un interferómetro de Fabry-Pérot ( FPI ) o etalon es una cavidad óptica formada por dos superficies reflectantes paralelas (es decir, espejos delgados ). Las ondas ópticas pueden atravesar la cavidad óptica sólo cuando están en resonancia con ella. Lleva el nombre de Charles Fabry y Alfred Perot , quienes desarrollaron el instrumento en 1899. ^{[1] [2] [3]} Etalon proviene del francés étalon , que significa "medidor" o "estándar". ^[4]

Los etalones se utilizan ampliamente en telecomunicaciones , láseres y espectroscopia para controlar y medir las longitudes de onda de la luz. Los avances recientes en la técnica de fabricación permiten la creación de interferómetros Fabry-Pérot sintonizables muy precisos. El dispositivo es técnicamente un interferómetro cuando la distancia entre las dos superficies (y con ella la longitud de resonancia) se puede cambiar, y un etalón cuando la distancia es fija (sin embargo, los dos términos a menudo se usan indistintamente).

Descripción básica

Interferómetro de Fabry-Pérot, que utiliza un par de planos ópticos parcialmente reflectantes y ligeramente acuñados. El ángulo de la cuña está muy exagerado en esta ilustración; En realidad, sólo se necesita una fracción de grado para evitar franjas fantasma. Las imágenes de baja finura frente a las de alta finura corresponden a reflectividades de espejo del 4% (vidrio desnudo) y del 95%.

El corazón del interferómetro Fabry-Pérot es un par de planos ópticos de vidrio parcialmente reflectantes espaciados entre micrómetros y centímetros, con las superficies reflectantes una frente a la otra. (Alternativamente, un etalon de Fabry-Pérot utiliza una sola placa con dos superficies reflectantes paralelas). Las partes planas de un interferómetro suelen tener forma de cuña para evitar que las superficies traseras produzcan franjas de interferencia; Las superficies traseras suelen tener también un revestimiento antirreflectante .

En un sistema típico, la iluminación la proporciona una fuente difusa situada en el plano focal de una lente colimadora . Una lente de enfoque después del par de pisos produciría una imagen invertida de la fuente si los pisos no estuvieran presentes; toda la luz emitida desde un punto de la fuente se enfoca en un solo punto en el plano de la imagen del sistema. En la ilustración adjunta, sólo se traza un rayo emitido desde el punto A de la fuente. A medida que el rayo pasa a través de los pisos emparejados, se refleja repetidamente para producir múltiples rayos transmitidos que son recogidos por la lente de enfoque y llevados al punto A' de la pantalla. El patrón de interferencia completo toma la apariencia de un conjunto de anillos concéntricos. El filo de los anillos depende de la reflectividad de las caras. Si la reflectividad es alta, lo que da como resultado un factor Q alto , la luz monocromática produce un conjunto de anillos estrechos y brillantes sobre un fondo oscuro. Se dice que un interferómetro Fabry-Pérot con Q alto tiene una gran delicadeza .

Aplicaciones

Un dispositivo comercial Fabry-Pérot

Telecomunicaciones

Las redes de telecomunicaciones que emplean multiplexación por división de longitud de onda tienen multiplexores add-drop con bancos de sílice fundida sintonizada en miniatura o puntas de diamante . Se trata de pequeños cubos iridiscentes de unos 2 mm de lado, montados en pequeños bastidores de alta precisión. Los materiales se eligen para mantener distancias estables entre espejos y frecuencias estables incluso cuando varía la temperatura. Se prefiere el diamante porque tiene una mayor conducción de calor y aún tiene un bajo coeficiente de expansión. En 2005, algunas empresas de equipos de telecomunicaciones comenzaron a utilizar metales sólidos que son a su vez fibras ópticas. Esto elimina la mayoría de las dificultades de montaje, alineación y enfriamiento.

Instrumentos ópticos

Los filtros dicroicos se fabrican depositando una serie de capas etalónicas sobre una superficie óptica mediante deposición de vapor . Estos filtros ópticos suelen tener bandas reflectantes y de paso más exactas que los filtros absorbentes. Cuando se diseñan correctamente, funcionan a menor temperatura que los filtros absorbentes porque reflejan longitudes de onda no deseadas en lugar de absorberlas. Los filtros dicroicos se utilizan ampliamente en equipos ópticos como fuentes de luz, cámaras, equipos astronómicos y sistemas láser.

Los ondímetros ópticos y algunos analizadores de espectro óptico utilizan interferómetros de Fabry-Pérot con diferentes rangos espectrales libres para determinar la longitud de onda de la luz con gran precisión.

Los resonadores láser a menudo se describen como resonadores Fabry-Pérot, aunque para muchos tipos de láser la reflectividad de un espejo es cercana al 100%, lo que lo hace más similar a un interferómetro Gires-Tournois . Los láseres de diodo semiconductor a veces utilizan una verdadera geometría de Fabry-Pérot, debido a la dificultad de recubrir las facetas finales del chip. Los láseres en cascada cuántica a menudo emplean cavidades de Fabry-Pérot para sostener el láser sin la necesidad de recubrimientos facetarios, debido a la alta ganancia de la región activa. ^[5]

Los etalones a menudo se colocan dentro del resonador láser cuando se construyen láseres monomodo. Sin un etalón, un láser generalmente producirá luz en un rango de longitud de onda correspondiente a varios modos de cavidad , que son similares a los modos Fabry-Pérot. Insertar un etalon en la cavidad del láser, con delicadeza bien elegida y rango espectral libre, puede suprimir todos los modos de la cavidad excepto uno, cambiando así el funcionamiento del láser de multimodo a monomodo.

Los interferómetros estables de Fabry-Pérot se utilizan a menudo para estabilizar la frecuencia de la luz emitida por un láser (que a menudo fluctúa debido a vibraciones mecánicas o cambios de temperatura) bloqueándolo en un modo de la cavidad. Existen muchas técnicas para producir una señal de error, como la técnica de Pound-Drever-Hall, ampliamente utilizada .

Espectroscopia

Los etalons de Fabry-Pérot se pueden utilizar para prolongar la duración de la interacción en la espectrometría de absorción láser , en particular en las técnicas de anillo hacia abajo de la cavidad . Se puede utilizar un etalón de espesor creciente como filtro óptico lineal variable para lograr la espectroscopia . Se puede hacer increíblemente pequeño usando películas delgadas de espesores nanométricos. ^[6]

Se puede utilizar un etalon de Fabry-Pérot para fabricar un espectrómetro capaz de observar el efecto Zeeman , donde las líneas espectrales están demasiado juntas para distinguirlas con un espectrómetro normal.

Astronomía

En astronomía, se utiliza un etalón para seleccionar una única transición atómica para obtener imágenes. La más común es la línea H-alfa del sol . La línea Ca-K del sol también se visualiza comúnmente utilizando estalones.

El sensor de metano para Marte (MSM) a bordo del Mangalyaan de la India es un ejemplo de instrumento Fabry-Pérot. Fue el primer instrumento Fabry-Pérot en el espacio cuando se lanzó Mangalyaan. ^[7] Como no distinguía la radiación absorbida por el metano de la radiación absorbida por el dióxido de carbono y otros gases, más tarde se le llamó mapeador de albedo. ^[8]

In gravitational wave detection, a Fabry–Pérot cavity is used to store photons for almost a millisecond while they bounce up and down between the mirrors. This increases the time a gravitational wave can interact with the light, which results in a better sensitivity at low frequencies. This principle is used by detectors such as LIGO and Virgo, which consist of a Michelson interferometer with a Fabry–Pérot cavity with a length of several kilometers in both arms. Smaller cavities, usually called mode cleaners, are used for spatial filtering and frequency stabilization of the main laser.^[9]

Theory

Resonator losses and outcoupled light

The spectral response of a Fabry–Pérot resonator is based on interference between the light launched into it and the light circulating in the resonator. Constructive interference occurs if the two beams are in phase, leading to resonant enhancement of light inside the resonator. If the two beams are out of phase, only a small portion of the launched light is stored inside the resonator. The stored, transmitted, and reflected light is spectrally modified compared to the incident light.

Assume a two-mirror Fabry–Pérot resonator of geometrical length ${\displaystyle \ell }$, homogeneously filled with a medium of refractive index ${\displaystyle n}$. Light is launched into the resonator under normal incidence. The round-trip time ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ of light travelling in the resonator with speed ${\displaystyle c=c_{0}/n}$, where ${\displaystyle c_{0}}$ is the speed of light in vacuum, and the free spectral range ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ are given by

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

The electric-field and intensity reflectivities ${\displaystyle r_{i}}$ and ${\displaystyle R_{i}}$, respectively, at mirror ${\displaystyle i}$ are

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

If there are no other resonator losses, the decay of light intensity per round trip is quantified by the outcoupling decay-rate constant ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

and the photon-decay time ${\displaystyle \tau _{c}}$ of the resonator is then given by^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Resonance frequencies and spectral line shapes

With ${\displaystyle \phi (\nu )}$ quantifying the single-pass phase shift that light exhibits when propagating from one mirror to the other, the round-trip phase shift at frequency ${\displaystyle \nu }$ accumulates to^[10]

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Resonances occur at frequencies at which light exhibits constructive interference after one round trip. Each resonator mode with its mode index ${\displaystyle q}$, where ${\displaystyle q}$ is an integer in the interval ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$, is associated with a resonance frequency ${\displaystyle \nu _{q}}$ and wavenumber ${\displaystyle k_{q}}$,

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Two modes with opposite values ${\displaystyle \pm q}$ and ${\displaystyle \pm k}$ of modal index and wavenumber, respectively, physically representing opposite propagation directions, occur at the same absolute value ${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$ of frequency.^[11]

El campo eléctrico decreciente en frecuencia está representado por una oscilación armónica amortiguada con una amplitud inicial de y una constante de tiempo de decaimiento de . En notación fasor, se puede expresar como ^[10] ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle E_{q,s}}$ ${\displaystyle 2\tau _{c}}$

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

La transformación de Fourier del campo eléctrico en el tiempo proporciona el campo eléctrico por unidad de intervalo de frecuencia,

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

Cada modo tiene una forma de línea espectral normalizada por intervalo de frecuencia unitaria dada por

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

cuya integral de frecuencia es la unidad. Introduciendo el ancho total a la mitad del ancho de línea máximo (FWHM) de la forma de línea espectral de Lorentz, obtenemos ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

expresado en términos de ancho de línea medio ancho a medio máximo (HWHM) o ancho de línea FWHM . Calibradas a una altura máxima de la unidad, obtenemos las líneas de Lorentz: ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

Al repetir la transformación de Fourier anterior para todos los modos con índice de modo en el resonador, se obtiene el espectro de modo completo del resonador. ${\displaystyle q}$

Dado que el ancho de línea y el rango espectral libre son independientes de la frecuencia, mientras que en el espacio de longitud de onda el ancho de línea no se puede definir adecuadamente y el rango espectral libre depende de la longitud de onda, y dado que las frecuencias de resonancia escalan proporcionalmente a la frecuencia, la respuesta espectral de un Fabry-Pérot El resonador se analiza y muestra naturalmente en el espacio de frecuencia. ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Distribución genérica de Airy: el factor de mejora de la resonancia interna

Campos eléctricos en un resonador de Fabry-Pérot. ^[10] Las reflectividades del espejo del campo eléctrico son y . Se indican los campos eléctricos característicos producidos por un campo eléctrico que incide sobre el espejo 1: inicialmente reflejado en el espejo 1, lanzado a través del espejo 1 y circulando dentro del resonador en dirección de propagación hacia adelante y hacia atrás, respectivamente, propagándose dentro del resonador después de un viaje de ida y vuelta. transmitido a través del espejo 2, transmitido a través del espejo 1 y el campo total propagándose hacia atrás. La interferencia se produce en los lados izquierdo y derecho del espejo 1 entre y , lo que resulta en , y entre y , lo que resulta en , respectivamente. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle E_{\rm {inc}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b-circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {trans}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$

La respuesta del resonador Fabry-Pérot a un campo eléctrico que incide sobre el espejo 1 se describe mediante varias distribuciones de Airy (llamadas así en honor del matemático y astrónomo George Biddell Airy ) que cuantifican la intensidad de la luz en la dirección de propagación hacia adelante o hacia atrás en diferentes posiciones dentro o fuera. el resonador con respecto a la intensidad de la luz emitida o incidente. La respuesta del resonador de Fabry-Pérot se deriva más fácilmente mediante el método del campo circulante. ^[12] Este enfoque supone un estado estacionario y relaciona los distintos campos eléctricos entre sí (ver figura "Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot").

El campo puede estar relacionado con el campo que se lanza al resonador mediante ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

La distribución genérica de Airy, que considera únicamente los procesos físicos exhibidos por la luz dentro del resonador, se deriva entonces como la intensidad que circula en el resonador en relación con la intensidad lanzada, ^[10]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$representa la mejora de resonancia interna espectralmente dependiente que el resonador proporciona a la luz lanzada hacia él (ver figura "Mejora de resonancia en un resonador Fabry-Pérot"). En las frecuencias de resonancia , donde es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia interna es ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Otras distribuciones de Airy

Mejora de la resonancia en un resonador de Fabry-Pérot. ^[10] (arriba) Mejora de la resonancia interna espectralmente dependiente, equivalente a la distribución genérica de Airy . La luz lanzada al resonador se ve reforzada resonantemente por este factor. Para la curva con , el valor máximo está en , fuera de la escala de ordenadas. (abajo) Mejora de resonancia externa espectralmente dependiente, igualando la distribución de Airy . Este factor potencia resonantemente la luz que incide sobre el resonador. ${\displaystyle A_{\text{circ}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100}$ ${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }}$

Una vez establecida la mejora de la resonancia interna, la distribución genérica de Airy, todas las demás distribuciones de Airy pueden deducirse mediante factores de escala simples. ^[10] Dado que la intensidad lanzada al resonador es igual a la fracción transmitida de la intensidad incidente en el espejo 1,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

y las intensidades transmitidas a través del espejo 2, reflejadas en el espejo 2 y transmitidas a través del espejo 1 son las fracciones transmitidas y reflejadas/transmitidas de la intensidad que circula dentro del resonador,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

respectivamente, las otras distribuciones de Airy con respecto a la intensidad del lanzamiento y con respecto a la intensidad del incidente son ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{\text{laun}}}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

El índice "emitir" denota distribuciones de Airy que consideran la suma de intensidades emitidas a ambos lados del resonador.

La intensidad retrotransmitida no se puede medir porque la luz inicialmente retrorreflejada se suma a la señal que se propaga hacia atrás. El caso medible de la intensidad resultante de la interferencia de ambos campos eléctricos que se propagan hacia atrás da como resultado la distribución de Airy ^[10] ${\displaystyle I_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Se puede demostrar fácilmente que en un resonador Fabry-Pérot, a pesar de la aparición de interferencias constructivas y destructivas, la energía se conserva en todas las frecuencias:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

El factor de mejora de la resonancia externa (consulte la figura "Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot") es ^[10]

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

En las frecuencias de resonancia , donde es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia externa es ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle \sin(\phi )}$

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Distribución aérea (líneas continuas), correspondiente a la luz transmitida a través de un resonador Fabry-Pérot, calculada para diferentes valores de las reflectividades , y comparación con una sola línea lorentziana (líneas discontinuas) calculada para la misma . ^[10] A la mitad del máximo (línea negra), con reflectividades decrecientes, el ancho de línea FWHM de la distribución de Airy se amplía en comparación con el ancho de línea FWHM de su línea Lorentziana correspondiente: da como resultado , respectivamente. ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}$

Normalmente la luz se transmite a través de un resonador de Fabry-Pérot. Por lo tanto, una distribución Airy que se aplica con frecuencia es ^[10]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Describe la fracción de la intensidad de una fuente de luz que incide sobre el espejo 1 que se transmite a través del espejo 2 (ver figura "Distribución del aire "). Su valor máximo en las frecuencias de resonancia es ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Porque el valor máximo es igual a la unidad; es decir, se transmite toda la luz que incide sobre el resonador. En consecuencia, no se refleja ninguna luz, , como resultado de la interferencia destructiva entre los campos y . ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ ${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$ ${\displaystyle E_{\text{back}}}$

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$se ha obtenido en el enfoque del campo circulante ^[12] considerando un cambio de fase adicional durante cada transmisión a través de un espejo, ${\displaystyle e^{i\pi /2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

Resultando en

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Alternativamente, se puede obtener mediante el enfoque de desintegración de ida y vuelta ^[13] rastreando el número infinito de viajes de ida y vuelta que presenta el campo eléctrico incidente después de ingresar al resonador y acumulando el campo eléctrico transmitido en todos los viajes de ida y vuelta. El campo transmitido después de la primera propagación y los campos cada vez más pequeños transmitidos después de cada propagación consecutiva a través del resonador son ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle E_{\text{trans}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

respectivamente. explotando

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

resulta lo mismo que el anterior, por lo tanto se deriva la misma distribución de Airy . Sin embargo, este enfoque es físicamente engañoso, porque supone que la interferencia tiene lugar entre los haces desacoplados después del espejo 2, fuera del resonador, en lugar de los haces lanzados y circulantes después del espejo 1, dentro del resonador. Dado que es la interferencia la que modifica los contenidos espectrales, la distribución de intensidad espectral dentro del resonador sería la misma que la distribución de intensidad espectral incidente, y no se produciría ninguna mejora de la resonancia dentro del resonador. ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$ ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$

Distribución aérea como suma de perfiles modal.

Físicamente, la distribución de Airy es la suma de los perfiles de modo de los modos del resonador longitudinal. ^[10] A partir del campo eléctrico que circula dentro del resonador, se considera la caída exponencial en el tiempo de este campo a través de ambos espejos del resonador, Fourier lo transforma al espacio de frecuencias para obtener las formas de líneas espectrales normalizadas , lo divide por la ronda- tiempo de viaje para tener en cuenta cómo la intensidad total del campo eléctrico circulante se distribuye longitudinalmente en el resonador y se acopla por unidad de tiempo, lo que da como resultado los perfiles de modo emitido, ${\displaystyle E_{circ}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$ ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

y luego suma los perfiles de modo emitidos de todos los modos longitudinales ^[10]

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

igualando así la distribución de Airy . ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$

Los mismos factores de escala simples que proporcionan las relaciones entre las distribuciones individuales de Airy también proporcionan las relaciones entre los otros perfiles de modo: ^[10] ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Caracterización del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea y delicadeza de Lorentz

El criterio de Taylor de resolución espectral propone que dos líneas espectrales se pueden resolver si las líneas individuales se cruzan a la mitad de intensidad. Al lanzar luz al resonador Fabry-Pérot, midiendo la distribución de Airy, se puede derivar la pérdida total del resonador Fabry-Pérot recalculando el ancho de línea de Lorentz , que se muestra (línea azul) en relación con el rango espectral libre en la figura "Lorentzian ancho de línea y delicadeza versus ancho de línea de Airy y delicadeza de un resonador Fabry-Pérot ". ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$

Ancho de línea y delicadeza de Lorentz frente al ancho de línea de Airy y delicadeza de un resonador de Fabry-Pérot. ^[10] [Izquierda] Ancho de línea relativo de Lorentz (curva azul), ancho de línea relativo de Airy (curva verde) y su aproximación (curva roja). [Derecha] Delicadeza de Lorentz (curva azul), delicadeza de Airy (curva verde) y su aproximación (curva roja) en función del valor de reflectividad . Las soluciones exactas del ancho de línea y la finura de Airy (líneas verdes) se descomponen correctamente en , equivalente a , mientras que sus aproximaciones (líneas rojas) incorrectamente no se descomponen. Inserciones: Región . ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}<0.1}$

El significado físico de la delicadeza lorentziana de un resonador Fabry-Pérot. ^[10] Se muestra la situación para , en la cual y , es decir, dos líneas lorentzianas adyacentes (líneas discontinuas de color, solo se muestran 5 líneas para mayor claridad para cada frecuencia de resonancia ) se cruzan a la mitad del máximo (línea negra continua) y el criterio de Taylor. para resolver espectralmente dos picos en la distribución de Airy resultante (línea púrpura sólida, se alcanza la suma de 5 líneas que se ha normalizado a la intensidad máxima de sí misma). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

Las líneas lorentzianas subyacentes pueden resolverse siempre que se obedezca el criterio de Taylor (ver figura "El significado físico de la delicadeza lorentziana"). En consecuencia, se puede definir la delicadeza lorentziana de un resonador Fabry-Pérot: ^[10]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

Se muestra como la línea azul en la figura "El significado físico de la delicadeza lorentziana". La delicadeza de Lorentz tiene un significado físico fundamental: describe qué tan bien se pueden resolver las líneas de Lorentz subyacentes a la distribución de Airy al medir la distribución de Airy. En el punto donde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

equivalente a , se alcanza el criterio de Taylor para la resolución espectral de una única distribución de Airy. Bajo este punto, no se pueden distinguir dos líneas espectrales. Para reflectividades de espejo iguales, este punto ocurre cuando . Por lo tanto, el ancho de línea de las líneas de Lorentz subyacentes a la distribución de Airy de un resonador de Fabry-Pérot se puede resolver midiendo la distribución de Airy, por lo que sus pérdidas del resonador se pueden determinar espectroscópicamente, hasta este punto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$

Escaneo del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea aireado y delicadeza

El significado físico de la delicadeza Airy de un resonador Fabry-Pérot. ^[10] Al escanear la longitud de Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz incidente), las distribuciones de Airy (líneas continuas de colores) se crean mediante señales en frecuencias individuales. El resultado experimental de la medición es la suma de las distribuciones de Airy individuales (línea discontinua negra). Si las señales ocurren en frecuencias , donde es un número entero que comienza en , las distribuciones de Airy en frecuencias adyacentes están separadas entre sí por el ancho de línea , cumpliendo así el criterio de Taylor para la resolución espectroscópica de dos picos adyacentes. El número máximo de señales que se pueden resolver es . Dado que en este ejemplo específico las reflectividades se han elegido de manera que sean un número entero, la señal para en la frecuencia coincide con la señal para en . En este ejemplo, se puede resolver un máximo de picos aplicando el criterio de Taylor. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ ${\displaystyle m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle m=q}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$

Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con reflectividad de espejo dependiente de la frecuencia (arriba) y (abajo) los perfiles de modo distorsionados resultantes de los modos con índices , la suma de 6 millones de perfiles de modo (puntos rosas, mostrados solo para algunas frecuencias), y la distribución Airy . ^[10] Las líneas discontinuas verticales indican el máximo de la curva de reflectividad (negro) y las frecuencias de resonancia de los modos individuales (coloreados). ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }}$ ${\displaystyle q=2000,2001,2002}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Cuando el resonador Fabry-Pérot se utiliza como interferómetro de barrido, es decir, con longitudes de resonador (o ángulo de incidencia) variables, se pueden distinguir espectroscópicamente líneas espectrales a diferentes frecuencias dentro de un rango espectral libre. Se deben resolver varias distribuciones de Airy , cada una creada por una línea espectral individual. Por lo tanto, la distribución de Airy se convierte en la función fundamental subyacente y la medición entrega una suma de distribuciones de Airy. Los parámetros que cuantifican adecuadamente esta situación son el ancho de línea de Airy y la delicadeza de Airy . El ancho de línea FWHM de la distribución Airy es ^[10] ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

El ancho de línea de Airy se muestra como la curva verde en la figura "Ancho de línea y delicadeza de Lorentz frente a ancho de línea de Airy y delicadeza de un resonador de Fabry-Pérot". ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

El concepto de definir el ancho de línea de los picos de Airy como FWHM se descompone en (línea roja sólida en la figura "Distribución de Airy "), porque en este punto el ancho de línea de Airy salta instantáneamente a un valor infinito para su función. Para valores de reflectividad más bajos de , el ancho de línea FWHM de los picos de Airy no está definido. El caso límite ocurre en ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

Para reflectividades de espejo iguales, este punto se alcanza cuando (línea roja continua en la figura "Distribución aireada "). ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$

Se define la delicadeza de la distribución de Airy de un resonador de Fabry-Pérot, que se muestra como la curva verde en la figura "Ancho de línea y delicadeza de Lorentz versus ancho de línea de Airy y delicadeza de un resonador de Fabry-Pérot" en comparación directa con la delicadeza de Lorentz . como ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

Al escanear la longitud del resonador Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz incidente), la delicadeza de Airy cuantifica el número máximo de distribuciones de Airy creadas por la luz en frecuencias individuales dentro del rango espectral libre del resonador Fabry-Pérot, cuyos picos adyacentes se pueden distinguir inequívocamente espectroscópicamente, es decir, no se superponen en su FWHM (ver figura "El significado físico de la delicadeza de Airy"). Esta definición de la delicadeza de Airy es consistente con el criterio de Taylor de la resolución de un espectrómetro. Dado que el concepto de ancho de línea FWHM se descompone en , en consecuencia, la delicadeza de Airy se define solo hasta , consulte la figura "Ancho de línea y delicadeza de Lorentz frente a ancho de línea y delicadeza de Airy de un resonador de Fabry-Pérot". ${\displaystyle \nu _{m}}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$

A menudo, la aproximación innecesaria se realiza al derivar del ancho de línea de Airy . En contraste con la solución exacta anterior, conduce a ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

Esta aproximación del ancho de línea de Airy, que se muestra como la curva roja en la figura "Ancho de línea y delicadeza de Lorentz frente a ancho de línea de Airy y delicadeza de un resonador de Fabry-Pérot", se desvía de la curva correcta en reflectividades bajas y no se descompone incorrectamente cuando . Esta aproximación también se suele utilizar para calcular la delicadeza de Airy. ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$

Reflectividades de espejo dependientes de la frecuencia

El caso más general de un resonador Fabry-Pérot con reflectividades de espejo dependientes de la frecuencia se puede tratar con las mismas ecuaciones anteriores, excepto que el tiempo de desintegración del fotón y el ancho de línea ahora se convierten en funciones locales de la frecuencia. Mientras que el tiempo de desintegración de los fotones sigue siendo una cantidad bien definida, el ancho de línea pierde su significado porque se parece a un ancho de banda espectral, cuyo valor ahora cambia dentro de ese mismo ancho de banda. También en este caso cada distribución de Airy es la suma de todos los perfiles de modo subyacentes que pueden distorsionarse fuertemente. ^[10] En la figura "Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con reflectividad de espejo dependiente de la frecuencia" se ofrece un ejemplo de la distribución de Airy y algunos de los perfiles de modo subyacentes . ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$ ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$

Resonador Fabry-Pérot con pérdidas ópticas intrínsecas

Las pérdidas de propagación intrínsecas dentro del resonador pueden cuantificarse mediante un coeficiente de pérdida de intensidad por unidad de longitud o, de manera equivalente, mediante la pérdida de ida y vuelta intrínseca tal que ^[14] ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$ ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

La pérdida adicional acorta el tiempo de desintegración de los fotones del resonador: ^[14] ${\displaystyle \tau _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

¿Dónde está la velocidad de la luz en la cavidad? La distribución genérica de Airy o el factor de mejora de la resonancia interna se obtiene como se indicó anteriormente incluyendo las pérdidas de propagación a través del coeficiente de pérdida de amplitud : ^[14] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$ ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Las otras distribuciones de Airy pueden derivarse como se indicó anteriormente teniendo en cuenta además las pérdidas de propagación. En particular, la función de transferencia con pérdida se convierte en ^[14]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Descripción del resonador de Fabry-Pérot en el espacio de longitudes de onda

Una etapa de Fabry-Pérot. La luz entra en el etalón y sufre múltiples reflejos internos.

La transmisión de un etalon en función de la longitud de onda. Un etalón de alta delicadeza (línea roja) muestra picos más agudos y mínimos de transmisión más bajos que un etalón de baja delicadeza (azul).

Delicadeza en función de la reflectividad. Los factores de delicadeza muy altos requieren espejos altamente reflectantes.

Análisis transitorio de un silicio ( n = 3,4) Fabry-Pérot etalon con incidencia normal. La animación superior es para el espesor del etalón elegido para brindar la máxima transmisión, mientras que la animación inferior es para el espesor elegido para brindar la mínima transmisión.

Falso color transitorio para un alto índice de refracción, losa dieléctrica en el aire. El espesor/las frecuencias se han seleccionado de modo que el rojo (arriba) y el azul (abajo) experimenten una transmisión máxima, mientras que el verde (medio) experimente una transmisión mínima.

La función de transmisión variable de un etalon es causada por la interferencia entre los múltiples reflejos de la luz entre las dos superficies reflectantes. Se produce interferencia constructiva si los haces transmitidos están en fase , y esto corresponde a un pico de alta transmisión del etalon. Si los haces transmitidos están desfasados, se producen interferencias destructivas y esto corresponde a un mínimo de transmisión. El hecho de que los haces reflejados múltiples veces estén en fase o no depende de la longitud de onda (λ) de la luz (en el vacío), el ángulo en que la luz viaja a través del etalon (θ), el grosor del etalon ( ℓ ) y el índice de refracción de el material entre las superficies reflectantes ( n ).

La diferencia de fase entre cada par transmitido sucesivo (es decir, T ₂ y T ₁ en el diagrama) viene dada por ^[15]

${\displaystyle \delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .}$

Si ambas superficies tienen una reflectancia R , la función de transmitancia del etalón viene dada por

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

dónde

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

es el coeficiente de finura .

La transmisión máxima ( ) ocurre cuando la diferencia de longitud del camino óptico ( ) entre cada haz transmitido es un múltiplo entero de la longitud de onda. En ausencia de absorción, la reflectancia del etalon _Re es el complemento de la transmitancia, tal que . La reflectividad máxima está dada por ${\displaystyle T_{e}=1}$ ${\displaystyle 2nl\cos \theta }$ ${\displaystyle T_{e}+R_{e}=1}$

${\displaystyle R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

y esto ocurre cuando la diferencia de longitud de trayectoria es igual a la mitad de un múltiplo impar de la longitud de onda.

La separación de longitudes de onda entre picos de transmisión adyacentes se denomina rango espectral libre (FSR) del etalon, Δλ, y viene dado por:

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},}$

donde λ ₀ es la longitud de onda central del pico de transmisión más cercano y es el índice de refracción del grupo . ^[16] El FSR está relacionado con la mitad del máximo de ancho completo, δλ, de cualquier banda de transmisión mediante una cantidad conocida como finura : ${\displaystyle n_{\mathrm {g} }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.}$

Esto comúnmente se aproxima (para R  > 0,5) por

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.}$

Si los dos espejos no son iguales, la delicadeza se vuelve

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}$

Los etalons con alta delicadeza muestran picos de transmisión más agudos con coeficientes de transmisión mínimos más bajos. En el caso de incidencia oblicua, la delicadeza dependerá del estado de polarización del haz, ya que el valor de R , dado por las ecuaciones de Fresnel , es generalmente diferente para polarizaciones p y s.

En el diagrama de la derecha se muestran dos haces, uno de los cuales (T ₀ ) se transmite a través del etalón y el otro (T ₁ ) se refleja dos veces antes de transmitirse. En cada reflexión, la amplitud se reduce en , mientras que en cada transmisión a través de una interfaz la amplitud se reduce en . Suponiendo que no haya absorción, la conservación de la energía requiere T  +  R  = 1. En la derivación siguiente, n es el índice de refracción dentro del etalon y n ₀ es el que está fuera del etalon. Se supone que n > n ₀ . La amplitud incidente en el punto a se toma como uno y se utilizan fasores para representar la amplitud de la radiación. La amplitud transmitida en el punto b será entonces ${\displaystyle {\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

${\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },}$

donde es el número de onda dentro del etalón y λ es la longitud de onda del vacío. En el punto c la amplitud transmitida será ${\displaystyle k=2\pi n/\lambda }$

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

La amplitud total de ambos haces será la suma de las amplitudes de los dos haces medidas a lo largo de una línea perpendicular a la dirección del haz. Por lo tanto, la amplitud t ₀ en el punto b se puede sumar a t ' ₁ retrasado en fase en una cantidad , donde es el número de onda fuera del etalon. De este modo ${\displaystyle k_{0}\ell _{0}}$ ${\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda }$

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},}$

donde ℓ ₀ es

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.}$

La diferencia de fase entre los dos haces es

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.}$

La relación entre θ y θ ₀ viene dada por la ley de Snell :

${\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},}$

de modo que la diferencia de fase pueda escribirse como

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

Dentro de un factor de fase multiplicativo constante, la amplitud del enésimo haz transmitido se puede escribir como

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

La amplitud total transmitida es la suma de las amplitudes de todos los haces individuales:

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

La serie es una serie geométrica , cuya suma puede expresarse analíticamente. La amplitud se puede reescribir como

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

La intensidad del haz será justo t veces su complejo conjugado . Dado que se supuso que el haz incidente tenía una intensidad de uno, esto también dará la función de transmisión:

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.}$

Para una cavidad asimétrica, es decir, una con dos espejos diferentes, la forma general de la función de transmisión es

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

Un interferómetro Fabry-Pérot se diferencia de un etalon Fabry-Pérot en el hecho de que la distancia ℓ entre las placas se puede ajustar para cambiar las longitudes de onda en las que se producen los picos de transmisión en el interferómetro. Debido a la dependencia del ángulo de la transmisión, los picos también se pueden desplazar girando el estalón con respecto al haz.

Otra expresión para la función de transmisión ya se dedujo en la descripción en el espacio de frecuencias como la suma infinita de todos los perfiles modales longitudinales. La definición de la expresión anterior se puede escribir como ${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)}$

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).}$

El segundo término es proporcional a una distribución Lorentziana envuelta, de modo que la función de transmisión puede escribirse como una serie de funciones Lorentzianas :

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),}$

dónde

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.}$

Ver también

• Interferómetro de Lummer-Gehrcke
• Etapa Gires-Tournois
• Filtro de línea atómica
• guía de ondas de FLECHA
• Reflector Bragg distribuido
• Rejilla de Bragg de fibra
• Microcavidad óptica
• Interferencia de película delgada
• Ancho de línea láser

Notas

1. Perot frecuentemente deletreaba su nombre con acento, Pérot, en publicaciones científicas, por lo que el nombre del interferómetro se escribe comúnmente con acento. Métivier, Françoise (septiembre-octubre de 2006). "Jean-Baptiste Alfred Perot" (PDF) . Photoniques (en francés) (25). Archivado desde el original (PDF) el 10 de noviembre de 2007 . Consultado el 2 de octubre de 2007 .Página 2: "¿Pérot ou Perot?"
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Referencias

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enlaces externos

• Diseño avanzado de Etalons, por Precision Photonics Corporation