Estado del gráfico

Concepto en computación cuántica

En computación cuántica , un estado de grafo es un tipo especial de estado de múltiples cúbits que se puede representar mediante un grafo . Cada cúbit se representa mediante un vértice del grafo y existe una arista entre cada par de cúbits que interactúan. En particular, son una forma conveniente de representar ciertos tipos de estados entrelazados .

Los estados de grafos son útiles en códigos de corrección de errores cuánticos , medición y purificación de entrelazamientos y para la caracterización de recursos computacionales en modelos de computación cuántica basados ​​en mediciones. Un estado de grafo es un caso particular de un estado estabilizador, así como un estado hipergráfico 2-uniforme, una generalización donde los bordes tienen cardinalidad entre 1 y N.

Definición formal

Los estados de los gráficos cuánticos se pueden definir de dos maneras equivalentes: a través de la noción de circuitos cuánticos y del formalismo estabilizador.

Definición de circuito cuántico

Dado un gráfico , con el conjunto de vértices y el conjunto de aristas , el estado del gráfico correspondiente se define como ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\left|G\right\rangle }=\prod _{(a,b)\in E}U^{\{a,b\}}{\left|+\right\rangle }^{\otimes V}}$

donde y el operador es la interacción Z controlada entre los dos vértices (correspondientes a dos qubits) y ${\displaystyle {\left|+\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\left|0\right\rangle }+{\left|1\right\rangle })}$ ${\displaystyle U^{\{a,b\}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle U^{\{a,b\}}=\left[{\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\end{array}}\right]}$

Definición del formalismo estabilizador

Una definición alternativa y equivalente es la siguiente, que hace uso del formalismo estabilizador .

Defina un operador para cada vértice de : ${\displaystyle S_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{v}=\sigma _{x}^{(v)}\prod _{u\in N(v)}\sigma _{z}^{(u)}}$

donde son las matrices de Pauli y es el conjunto de vértices adyacentes a . Los operadores conmutan. El estado del grafo se define como el estado propio de valor propio simultáneo de los operadores : ${\displaystyle \sigma _{x,y,z}}$ ${\displaystyle N(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle S_{v}}$ ${\displaystyle {\left|G\right\rangle }}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \left|V\right|}$ ${\displaystyle \left\{S_{v}\right\}_{v\in V}}$

${\displaystyle S_{v}{\left|G\right\rangle }={\left|G\right\rangle }}$

y por lo tanto cada estado del gráfico es un estado estabilizador.

Equivalencia entre ambas definiciones

Una prueba de la equivalencia de las dos definiciones se puede encontrar en ^{[1] [2]}

Ejemplos

• Si es un camino de tres vértices , entonces los estabilizadores son ${\displaystyle G=P_{3}}$ ${\displaystyle S_{v}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes I,\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

El estado cuántico correspondiente es

${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }+{\left|111\right\rangle })}$

• Si es un triángulo con tres vértices, entonces los estabilizadores son ${\displaystyle G=K_{3}}$ ${\displaystyle S_{v}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

El estado cuántico correspondiente es

${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }-{\left|111\right\rangle })}$

Obsérvese que y son equivalentes entre sí a nivel local, es decir, se pueden mapear entre sí aplicando transformaciones unitarias de un cúbit. De hecho, al cambiar y en el primer y último cúbit, mientras se cambia y en el cúbit del medio, se mapea el grupo estabilizador de uno en el del otro. ${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }}$ ${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

Equivalencia local

Dos estados de grafo se denominan equivalentes locales si uno puede convertirse en el otro mediante puertas unitarias locales. Si la conversión de un estado al otro puede realizarse mediante puertas locales del grupo de Clifford , los dos estados se denominan equivalentes locales de Clifford. Si y solo si dos estados de grafo son equivalentes locales de Clifford, un grafo puede convertirse en el otro mediante una secuencia de las llamadas "complementaciones locales". ^[3] Esto proporciona una herramienta útil para estudiar la equivalencia local de Clifford mediante una regla de manipulación de grafos simple y las clases de equivalencia correspondientes de estados de grafo se han estudiado en las referencias ^{[1] [4] [5]} Sin embargo, la equivalencia local de Clifford de estados de grafo solo coincide con la equivalencia unitaria local para estados de grafo pequeños ^[1] y generalmente no es idéntica. ^[6]

Criterios de entrelazamiento y desigualdades de Bell para estados de grafos

Después de crear un estado gráfico en un experimento, es importante verificar que, en efecto, se haya creado un estado cuántico entrelazado. La fidelidad con respecto a un estado gráfico de -qubit se da por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |G_{N}\rangle }$

${\displaystyle F_{GN}={\rm {Tr}}(\rho |G_{N}\rangle \langle G_{N}|),}$

Se ha demostrado que si para un estado de gráfico no trivial corresponde a un gráfico conexo, entonces el estado tiene un entrelazamiento multipartícula genuino. ^{[7] [8]} Por lo tanto, se puede obtener un testigo de entrelazamiento que detecte el entrelazamiento cerca de los estados del gráfico como ${\displaystyle F_{GN}>1/2}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle W_{GN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|G_{N}\rangle \langle G_{N}|.}$

donde se señala un genuino entrelazamiento de múltiples partículas. ${\displaystyle \langle W_{GN}\rangle <0}$

Este tipo de testigo no se puede medir directamente, sino que se debe descomponer en una suma de términos de correlación que luego se pueden medir. Sin embargo, para sistemas grandes, este enfoque puede resultar difícil.

También hay testigos de entrelazamiento que funcionan en sistemas muy grandes y que también detectan un entrelazamiento multipartito genuino cerca de estados de grafos. Aquí, el estado del grafo en sí tiene que ser un entrelazamiento multipartito genuino, es decir, tiene que corresponder a un grafo conectado. Los testigos solo necesitan las dos configuraciones de medición locales mínimas para estados de grafos correspondientes a grafos de dos colores. ^{[7] [8]} También se pueden usar condiciones similares para poner un límite inferior a la fidelidad con respecto a un estado de grafo ideal. ^[8] Estos criterios se han usado primero en un experimento que realizaba estados de cúmulos de cuatro cúbits con fotones. ^[9] Estos enfoques también se han usado para proponer métodos para detectar el entrelazamiento en una parte más pequeña de un estado de cúmulo grande o estado de grafo realizado en redes ópticas. ^[10]

También se han desarrollado desigualdades de Bell para estados de clúster. ^{[11] [12] [13]} Todas estas condiciones de entrelazamiento y desigualdades de Bell se basan en el formalismo estabilizador. ^[14]

Véase también

• Enredo
• Estado del clúster
• Computadora cuántica unidireccional

Referencias

• M. Hein; J. Eisert; HJ Briegel (2004). "Enredo multipartito en estados de grafos". Physical Review A . 69 (6): 062311. arXiv : quant-ph/0307130 . Bibcode :2004PhRvA..69f2311H. doi :10.1103/PhysRevA.69.062311. S2CID  108290803.
• S. Anders; HJ Briegel (2006). "Simulación rápida de circuitos estabilizadores utilizando una representación de estado gráfico". Physical Review A . 73 (2): 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Bibcode :2006PhRvA..73b2334A. doi :10.1103/PhysRevA.73.022334. S2CID  12763101.
• M. Van den Nest; J. Dehaene; B. De Moor (2005). "Equivalencia local unitaria versus local de Clifford de estados estabilizadores". Physical Review A . 71 (6): 062323. arXiv : quant-ph/0411115 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..71f2323V. doi :10.1103/PhysRevA.71.062323. S2CID  119466090.

1. Hein M.; Dür W.; Eisert J.; Raussendorf R.; Van den Nest M.; Briegel H.-J. (2006). "Entrelazamiento en estados de grafos y sus aplicaciones". Actas de la Escuela Internacional de Física "Enrico Fermi" . 162 (Computadoras cuánticas, algoritmos y caos): 115–218. arXiv : quant-ph/0602096 . Bibcode :2006quant.ph..2096H. doi :10.3254/978-1-61499-018-5-115. ISSN  0074-784X.
2. Looi, Shiang Yong; Yu, Li; Gheorghiu, Vlad; Griffiths, Robert B. (7 de octubre de 2008). "Códigos de corrección de errores cuánticos utilizando estados de grafos de qudit". Physical Review A . 78 (4). Sociedad Estadounidense de Física (APS). doi : 10.1103/physreva.78.042303 . ISSN  1050-2947.
3. Van den Nest, Maarten; Dehaene, Jeroen; De Moor, Bart (17 de septiembre de 2004). "Algoritmo eficiente para reconocer la equivalencia local de Clifford de estados de grafos". Physical Review A . 70 (3): 034302. arXiv : quant-ph/0405023 . Bibcode :2004PhRvA..70c4302V. doi :10.1103/PhysRevA.70.034302. ISSN  1050-2947. S2CID  35190821.
4. Cabello, Adán; López-Tarrida, Antonio J.; Moreno, Pilar; Portillo, José R. (2009). "Enredo en estados de gráficos de ocho qubits". Letras de Física A. 373 (26). Elsevier BV: 2219–2225. doi : 10.1016/j.physleta.2009.04.055 . ISSN  0375-9601.
5. Adcock, Jeremy C.; Morley-Short, Sam; Dahlberg, Axel; Silverstone, Joshua W. (7 de agosto de 2020). "Mapeo de órbitas estatales del gráfico bajo complementación local". Cuántico . 4 . Verein zur Forderung des Open Access Publizierens in den Quantenwissenschaften: 305. doi : 10.22331/q-2020-08-07-305 . ISSN  2521-327X.
6. Ji, Z.-F.; Chen, J.-X.; Wei, Z.-H.; Ying, M.-S. (2010). "La conjetura LU-LC es falsa". Información y computación cuántica . 10 (1 y 2). Rinton Press: 97–108. doi :10.26421/qic10.1-2-8. ISSN  1533-7146.
7. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (17 de febrero de 2005). "Detección de entrelazamiento multipartito genuino con dos mediciones locales". Physical Review Letters . 94 (6): 060501. arXiv : quant-ph/0405165 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..94f0501T. doi :10.1103/PhysRevLett.94.060501. PMID  15783712. S2CID  13371901.
8. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (29 de agosto de 2005). "Detección de entrelazamiento en el formalismo estabilizador". Physical Review A . 72 (2): 022340. arXiv : quant-ph/0501020 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..72b2340T. doi :10.1103/PhysRevA.72.022340. S2CID  56269409.
9. Kiesel, Nikolai; Schmid, cristiano; Weber, Ulrich; Tóth, Géza; Gühne, Otfried; Ursin, Rupert; Weinfurter, Harald (16 de noviembre de 2005). "Análisis experimental de un estado de grupo de fotones de cuatro qubits". Cartas de revisión física . 95 (21). arXiv : quant-ph/0508128 . doi : 10.1103/PhysRevLett.95.210502.
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11. Scarani, Valerio; Acín, Antonio; Schenck, Emmanuel; Aspelmeyer, Markus (18 de abril de 2005). "No localidad de estados de cúbits en grupos". Physical Review A . 71 (4): 042325. arXiv : quant-ph/0405119 . Bibcode :2005PhRvA..71d2325S. doi :10.1103/PhysRevA.71.042325. S2CID  4805039.
12. Gühne, Otfried; Tóth, Géza; Hyllus, Philipp; Briegel, Hans J. (14 de septiembre de 2005). "Inecuaciones de Bell para estados de grafos". Physical Review Letters . 95 (12): 120405. arXiv : quant-ph/0410059 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95l0405G. doi :10.1103/PhysRevLett.95.120405. PMID  16197057. S2CID  5973814.
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14. Gottesman, Daniel (1 de septiembre de 1996). "Clase de códigos de corrección de errores cuánticos que saturan el límite cuántico de Hamming". Physical Review A . 54 (3): 1862–1868. arXiv : quant-ph/9604038 . Código Bibliográfico :1996PhRvA..54.1862G. doi :10.1103/PhysRevA.54.1862. PMID  9913672. S2CID  16407184.

Enlaces externos

• Estados de los grafos cuánticos: dos definiciones equivalentes