Estabilidad direccional

La estabilidad direccional es la estabilidad de un cuerpo o vehículo en movimiento con respecto a un eje perpendicular a su dirección de movimiento. La estabilidad de un vehículo se refiere a la tendencia de un vehículo a volver a su dirección original en relación con el medio que se aproxima (agua, aire, superficie de la carretera, etc.) cuando se lo altera (se lo hace girar) y se lo aleja de esa dirección original. Si un vehículo es direccionalmente estable, se produce un momento de recuperación que va en una dirección opuesta a la alteración rotacional. Esto "empuja" al vehículo (en rotación) para que vuelva a la orientación original, lo que tiende a mantenerlo orientado en la dirección original.

La estabilidad direccional se denomina frecuentemente "veleta" porque un vehículo direccionalmente estable, libre de girar sobre su centro de masa, es similar a una veleta que gira sobre su pivote (vertical).

Con excepción de las naves espaciales, los vehículos generalmente tienen una parte delantera y trasera reconocibles y están diseñados de manera que la parte delantera apunte más o menos en la dirección del movimiento. Sin esta estabilidad, pueden volcarse, girar u orientarse en un ángulo de ataque alto , incluso de costado en la dirección del movimiento. En ángulos de ataque altos, las fuerzas de arrastre pueden volverse excesivas, el vehículo puede resultar imposible de controlar o incluso puede sufrir fallas estructurales. En general, los vehículos terrestres, marítimos, aéreos y submarinos están diseñados para tener una tendencia natural a apuntar en la dirección del movimiento.

Ejemplo: vehículo de carretera

Las flechas, dardos, cohetes y dirigibles tienen superficies de cola (aletas o plumas) para lograr estabilidad direccional; un avión utiliza su estabilizador vertical con el mismo propósito. Un vehículo de carretera no tiene elementos diseñados específicamente para mantener la estabilidad, sino que se basa principalmente en la distribución de masas .

Introducción

Estos puntos se ilustran mejor con un ejemplo. La primera etapa del estudio de la estabilidad de un vehículo de carretera es la derivación de una aproximación razonable a las ecuaciones de movimiento.

El diagrama ilustra un vehículo de cuatro ruedas, en el que el eje delantero está situado a una distancia por delante del centro de gravedad y el eje trasero a una distancia por detrás del centro de gravedad. La carrocería del coche apunta en una dirección (theta) mientras que se desplaza en una dirección (psi). En general, no son lo mismo. El neumático se desliza en la región del punto de contacto en la dirección de desplazamiento, pero los cubos están alineados con la carrocería del vehículo, con la dirección en posición central. Los neumáticos se deforman a medida que giran para adaptarse a esta desalineación y, como consecuencia, generan fuerzas laterales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$

La fuerza lateral neta Y sobre el vehículo es la fuerza centrípeta que hace que el vehículo cambie la dirección en la que viaja:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y\,\cos(\theta -\psi )}$

donde M es la masa del vehículo y V la velocidad. Se supone que todos los ángulos son pequeños, por lo que la ecuación de fuerza lateral es:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y}$

La rotación del cuerpo sometido a un momento de guiñada N está gobernada por:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=N}$

donde I es el momento de inercia en guiñada. Las fuerzas y momentos de interés surgen de la distorsión de los neumáticos. El ángulo entre la dirección en la que rueda la banda de rodadura y el cubo se denomina ángulo de deslizamiento . Este es un nombre un poco inapropiado, porque el neumático en su conjunto no resbala realmente, parte de la región en contacto con la carretera se adhiere y parte de la región resbala. Suponemos que la fuerza del neumático es directamente proporcional al ángulo de deslizamiento ( ). Este se compone del deslizamiento del vehículo en su conjunto modificado por la velocidad angular de la carrocería. Para el eje delantero: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (front)=\theta -\psi -{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Mientras que para el eje trasero:

${\displaystyle \phi (rear)=\theta -\psi +{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Sea k la constante de proporcionalidad. La fuerza lateral es, por tanto:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

El momento es:

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Denotando la velocidad angular , las ecuaciones de movimiento son: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {4k}{MV}}(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}}\omega }$

Sea (beta), el ángulo de deslizamiento para el vehículo en su conjunto: ${\displaystyle \theta -\psi =\beta }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}\beta -2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-{\frac {4k}{MV}}\beta +(1-2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}})\omega }$

Eliminando se obtiene la siguiente ecuación en : ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =0}$

Esto se llama ecuación homogénea lineal de segundo orden y sus propiedades forman la base de gran parte de la teoría de control .

Análisis de estabilidad

No es necesario resolver la ecuación de movimiento explícitamente para decidir si la solución diverge indefinidamente o converge a cero después de una perturbación inicial. La forma de la solución depende de los signos de los coeficientes.

El coeficiente de se llamará ' amortiguación ' por analogía con un amortiguador de masa-resorte que tiene una ecuación de movimiento similar. ${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}}$

Por la misma analogía, el coeficiente de se llamará 'rigidez', ya que su función es devolver el sistema a una deflexión cero, de la misma manera que un resorte. ${\displaystyle \beta }$

La forma de la solución depende únicamente de los signos de los términos de amortiguamiento y rigidez. Los cuatro tipos de soluciones posibles se presentan en la figura.

La única solución satisfactoria requiere que tanto la rigidez como la amortiguación sean positivas.

El término de amortiguación es:

${\displaystyle ({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}})}$

El coeficiente de deslizamiento del neumático k es positivo, al igual que la masa, el momento de inercia y la velocidad, por lo que la amortiguación es positiva y el movimiento direccional debería ser dinámicamente estable.

El término de rigidez es:

${\displaystyle ({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MIV^{2}}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})}$

Si el centro de gravedad está por delante del centro de la distancia entre ejes ( , esto siempre será positivo y el vehículo será estable a todas las velocidades. Sin embargo, si se encuentra más atrás, el término tiene el potencial de volverse negativo por encima de una velocidad dada por: ${\displaystyle (b>a)}$

${\displaystyle V^{2}={\frac {2k(a+b)^{2}}{M(a-b)}}}$

Por encima de esta velocidad, el vehículo será direccionalmente inestable .

Efecto relativo de los neumáticos delanteros y traseros

Si por alguna razón (presión de inflado incorrecta, banda de rodadura desgastada) los neumáticos de un eje no son capaces de generar una fuerza lateral significativa, la estabilidad obviamente se verá afectada.

Supongamos que los neumáticos traseros están defectuosos. ¿Cuál es el efecto sobre la estabilidad? Si los neumáticos traseros no producen fuerzas significativas, la fuerza lateral y el momento de guiñada son:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front))=2k(\theta -\psi )-2k{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front))=2ka(\theta -\psi )-2k{\frac {a^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

La ecuación de movimiento se convierte en:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2ka^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}-({\frac {2ka}{I}})\beta =0}$

El coeficiente de es negativo, por lo que el vehículo será inestable. ${\displaystyle \beta }$

Consideremos ahora el efecto de los neumáticos defectuosos en la parte delantera. La fuerza lateral y el momento de guiñada son:

${\displaystyle Y=2k(\phi (rear))=2k(\theta -\psi )+2k{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=-2k(b\phi (rear))=-2kb(\theta -\psi )-2k{\frac {b^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

La ecuación de movimiento se convierte en:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2kb^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {2kb}{I}})\beta =0}$

El coeficiente de es positivo, por lo que el vehículo será estable pero inestable. ${\displaystyle \beta }$

De ello se desprende que el estado de los neumáticos traseros es más decisivo para la estabilidad direccional que el de los delanteros. Además, bloquear las ruedas traseras aplicando el freno de mano hace que el vehículo pierda la estabilidad direccional y empiece a girar. Como el vehículo no está bajo control durante el giro, el " giro con el freno de mano " suele ser ilegal en las vías públicas.

Fuerzas de dirección

Al desviar la dirección, se modifica el ángulo de deslizamiento de los neumáticos delanteros, lo que genera una fuerza lateral. Con la dirección convencional, los neumáticos se desvían en diferentes grados, pero para los fines de este análisis, el deslizamiento adicional se considerará igual para ambos neumáticos delanteros.

La fuerza lateral se convierte en:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2k\eta }$

donde (eta) es la desviación de la dirección. De manera similar, el momento de guiñada se convierte en: ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2ka\eta }$

La inclusión del término de dirección introduce una respuesta forzada:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =-{\frac {2k}{MV}}{\frac {d\eta }{dt}}+({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})\eta }$

La respuesta en estado estacionario se produce con todas las derivadas temporales establecidas en cero. La estabilidad requiere que el coeficiente de sea positivo, por lo que el signo de la respuesta está determinado por el coeficiente de : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle ({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})}$

Esta es una función de la velocidad. Cuando la velocidad es baja, el deslizamiento es negativo y la carrocería apunta hacia afuera de la curva (subvira ) . A una velocidad dada por:

${\displaystyle V^{2}={\frac {2kb(a+b)}{Ma}}}$

El cuerpo apunta en la dirección del movimiento. Por encima de esta velocidad, el cuerpo apunta hacia la curva ( sobreviraje ).

A modo de ejemplo:

con k=10kN/radián, M=1000kg, b=1,0m, a=1,0m, el vehículo subvira por debajo de 11,3mph.

Evidentemente, desplazar el centro de gravedad hacia delante aumenta esta velocidad, dando al vehículo una tendencia a subvirar .

Nota: La instalación de un motor pesado y potente en un vehículo de producción ligero diseñado en torno a un motor pequeño aumenta tanto su estabilidad direccional como su tendencia al subviraje. El resultado es un vehículo con demasiada potencia y un rendimiento deficiente en las curvas.

Peor aún es la instalación de un grupo motopropulsor de gran tamaño en un vehículo de producción con motor trasero sin la correspondiente modificación de la suspensión o de la distribución de masas, ya que el resultado será una dirección inestable a alta velocidad.

Limitaciones del análisis

Las fuerzas que surgen del deslizamiento dependen de la carga sobre el neumático, así como del ángulo de deslizamiento; este efecto se ha ignorado, pero se podría tener en cuenta suponiendo diferentes valores de k para los ejes delantero y trasero. El movimiento de balanceo debido a las curvas redistribuirá las cargas de los neumáticos entre el lado derecho y el izquierdo del vehículo, modificando nuevamente las fuerzas de los neumáticos. El par motor también redistribuye la carga entre los neumáticos delanteros y traseros.

Un análisis completo también debe tener en cuenta la respuesta de la suspensión .

El análisis completo es esencial para el diseño de vehículos de carretera de alto rendimiento, pero está más allá del alcance de este artículo.

Aviación

Tanto el fuselaje detrás del centro de gravedad (CG) como la aleta de cola contribuyen a la estabilidad direccional.

La estabilidad direccional sobre el eje vertical de la aeronave también se conoce como guiñada . Esto se logra principalmente mediante el área del estabilizador vertical y los lados del fuselaje detrás del centro de gravedad. Cuando un avión vuela en línea recta mientras es golpeado por una ráfaga de viento lateral, el movimiento de guiñada izquierda/derecha se detendrá por el aire que golpea el lado derecho/izquierdo del estabilizador vertical. ^[1]

Véase también

• Estabilidad relajada
• Manejo del vehículo
• Dinámica de vuelo
• Rollo holandés
• Estabilidad longitudinal
• Oscilación de caza

Referencias

• Barwell FT: Automatización y control en el transporte, Pergamon Press, 1972.
• Synge JL y BA Griffiths: Principios de mecánica, Sección 6.3, McGraw-Hill Kogakusha Ltd, 3.ª edición, 1970.

1. "Manual del piloto sobre conocimientos aeronáuticos". Administración Federal de Aviación . 24 de agosto de 2016. pág. 5–19 . Consultado el 16 de enero de 2023 .

Enlaces externos

• Medios relacionados con Estabilidad direccional en Wikimedia Commons