Estáticamente indeterminado

Cuando las ecuaciones de equilibrio estático de una estructura no tienen una solución única

En estática y mecánica estructural , una estructura es estáticamente indeterminada cuando las ecuaciones de equilibrio (condiciones de equilibrio de fuerza y ​​momento) son insuficientes para determinar las fuerzas y reacciones internas en esa estructura. ^{[1] [2]}

Matemáticas

Basándonos en las leyes del movimiento de Newton , las ecuaciones de equilibrio disponibles para un cuerpo bidimensional son: ^[2]

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0:}$La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. Esto se traduce en:

${\displaystyle \sum \mathbf {H} =0:}$la suma de los componentes horizontales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {V} =0:}$la suma de los componentes verticales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {M} =0:}$La suma de los momentos (alrededor de un punto arbitrario) de todas las fuerzas es igual a cero.

Diagrama de cuerpo libre de una viga estáticamente indeterminada

En la construcción de la viga de la derecha, las cuatro reacciones desconocidas son V _A , V _B , V _C y H _A . Las ecuaciones de equilibrio son: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}}$

Dado que hay cuatro fuerzas desconocidas (o variables ) ( V _A , V _B , V _C y H _A ) pero solo tres ecuaciones de equilibrio, este sistema de ecuaciones simultáneas no tiene una solución única. Por lo tanto, la estructura se clasifica como estáticamente indeterminada .

Para resolver sistemas estáticamente indeterminados (determinar las diversas reacciones de momento y fuerza dentro de ellos), se consideran las propiedades del material y la compatibilidad en las deformaciones .

Estáticamente determinado

Si se elimina el soporte en B , la reacción V _B no puede ocurrir y el sistema se vuelve estáticamente determinado (o isostático ). ^[3] Nótese que el sistema está completamente restringido aquí. El sistema se convierte en un acoplamiento cinemático de restricción exacta . La solución al problema es: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}}$

Si, además, el soporte en A se cambia por un soporte de rodillos, el número de reacciones se reduce a tres (sin H _A ), pero la viga ahora se puede mover horizontalmente; el sistema se vuelve inestable o parcialmente restringido —un mecanismo en lugar de una estructura. Para distinguir entre esto y la situación en la que un sistema en equilibrio se ve perturbado y se vuelve inestable, es preferible utilizar aquí la frase parcialmente restringido . En este caso, las dos incógnitas V _A y V _C se pueden determinar resolviendo la ecuación de fuerza vertical y la ecuación de momento simultáneamente. La solución produce los mismos resultados que los obtenidos anteriormente. Sin embargo, no es posible satisfacer la ecuación de fuerza horizontal a menos que F _h = 0 . ^[2]

Determinación estática

Descriptivamente, una estructura estáticamente determinada puede definirse como una estructura en la que, si es posible encontrar acciones internas en equilibrio con cargas externas, esas acciones internas son únicas. La estructura no tiene estados posibles de autoesfuerzo, es decir, no son posibles fuerzas internas en equilibrio con cargas externas nulas. La indeterminación estática, sin embargo, es la existencia de una solución no trivial (no nula) para el sistema homogéneo de ecuaciones de equilibrio. Indica la posibilidad de autoesfuerzo (esfuerzo en ausencia de una carga externa) que puede ser inducida por acción mecánica o térmica.

Matemáticamente, esto requiere que una matriz de rigidez tenga rango completo.

Una estructura estáticamente indeterminada solo se puede analizar incluyendo información adicional como propiedades del material y deflexiones. Numéricamente, esto se puede lograr mediante análisis estructurales matriciales, el método de elementos finitos (FEM) o el método de distribución de momentos ( Hardy Cross ).

En la práctica, una estructura se denomina “estáticamente sobredeterminada” cuando comprende más restricciones mecánicas (como paredes, columnas o pernos) que las absolutamente necesarias para la estabilidad.

Véase también

• Christian Otto Mohr
• Método de flexibilidad
• Determinación cinemática
• Mecanismo sobreconstreñido
• Ingeniería estructural

Referencias

1. Matheson, James Adam Louis (1971). Estructuras hiperestáticas: una introducción a la teoría de estructuras estáticamente indeterminadas (2.ª ed.). Londres: Butterworths. ISBN 0408701749.OCLC 257600  .
2. Megson, Thomas Henry Gordon (2014). "Análisis de estructuras estáticamente indeterminadas". Análisis estructural y de tensiones (tercera edición). Ámsterdam: Elsevier. pp. 489–570. ISBN 9780080999364.OCLC 873568410  .
3. Carpinteri, Alberto (1997). Mecánica estructural: un enfoque unificado (1.ª ed.). Londres: E & FN Spon. ISBN 0419191607.OCLC 36416368  .

Enlaces externos

• Cálculo de vigas en línea (estáticamente indeterminado)